正弦电流电路基础

第7章正弦电流电路基础 7 1正弦量7 2正弦量的有效值7 3相量法的基本概念7 4电路定律的相量形式7 5RLC的相量模型 目录 7 1正弦量 正弦量 随时间按照正弦规律变化的物理量 都称为正弦量 在某时刻的值称为该时刻的瞬时值 则正弦电流和电压分别用小写字母i u表示 7 1正弦量 周期量 时变电压和电流的波形周期性的重复出现 周期T 每一个瞬时值重复出现的最小时间间隔 单位 秒 s 频率f 每秒中周期量变化的周期数 单位 赫兹 Hz 周期和频率互为倒数 7 1正弦量 交变量 一个周期量在一个周期内的平均值为零 正弦量不仅是周期量 而且还是交变量 7 1正弦量 正弦量的表达式 Fm 最大值 反映正弦量在整个变化过程中所能达到的最大值 t 相位 反映正弦量变动的进程 函数表示法 角频率 rad s 反映正弦量变化的快慢 7 1正弦量 正弦量的表达式 Fm 正弦量的三要素 初相位 反映正弦量初值的大小 正负 函数表示法 已知 则 7 1正弦量 正弦量的表达式 当 0时 最大值由坐标原点向左移 波形表示法 7 1正弦量 设 两个同频率正弦量的相位差 则u t 与i t 的相位差 可见 对两个同频率的正弦量来说 相位差在任何瞬时都是一个常数 即等于它们的初相之差 而与时间无关 的单位为rad 弧度 或 度 主值范围为 7 1正弦量 如果 u i 0 如下图所示 则称电压u的相位超前电流i的相位一个角度度 简称电压u超前电流i角度 意指在波形图中 由坐标原点向右看 电压u先到达其第一个正的最大值 经过 电流i到达其第一个正的最大值 反过来也可以说电流i滞后电压u角度 7 1正弦量 如果 u i 0 则结论刚好与上述情况相反 即电压u滞后电流i一个角度 或电流i超前电压u一个角度 7 1正弦量 又设 1 当 则 u1与u同相 7 1正弦量 2 当 则 u2与u正交 7 1正弦量 3 当 则 u3与u反相 7 1正弦量 注意 函数表达形式应相同 均采用cos或sin形式表示 函数表达式前的正 负号要一致 当两个同频率正弦量的计时起点 即波形图中的坐标原点 改变时 它们的初相也跟着改变 但它们的相位差却保持不变 所以两个同频率正弦量的相位差与计时起点的选择无关 7 2正弦量的有效值 正弦量的有效值 设 f t 任意周期函数 可见 周期量的有效值等于它的瞬时值的平方在一个周期内积分的平均值取平方根 因此 有效值又称为方均根值 方均根值 7 2正弦量的有效值 当周期量为正弦量时 将代入上式得 只适用于正弦量 则正弦量的数学表达式也可写为 对正弦电流i Imcos t i 的有效值为 对正弦电压u Umcos t u 的有效值为 7 2正弦量的有效值 在工程上 一般所说的正弦电压 电流的大小均指有效值 例如交流测量仪表所指示的读数 交流电气设备铭牌上的额定值都是指有效值 我国所使用的单相正弦电源的电压U 220V 就是正弦电压的有效值 它的最大值Um U 1 414 220 311V 应当指出 并非在一切场合都用有效值表征正弦量的大小 例如 在确定各种交流电气设备的耐压值时 就应按电压的最大值来考虑 7 3相量法的基本概念 相量 令正弦量 根据欧拉公式 可知 取 则 最大值相量 可以表示一个正弦量的复值常数称为相量 7 3相量法的基本概念 相量 最大值相量 有效值相量 7 3相量法的基本概念 可以通过数学的方法 把一个实数域的正弦时间函数与一个复数域的复指数函数一一对应起来 而复指数函数的复常数部分是用正弦量的有效值 最大值 和初相结合成一个复数表示出来的 运用相量进行正弦稳态电路的分析和计算 可同时将正弦量 最大值 的有效值和初相计算出来 有效值 最大值 上方加的小圆点是用来与普通复数相区别的记号 在数学运算上与一般复数的运算并无区别 7 3相量法的基本概念 为了简化起见 相量图中不画出虚轴 而实轴改画为水平的虚线 相量图 相量既然是复数 它也可以在复平面上用一条有向线段表示 如下图所示为正弦电流i Icos t i 的相量 其中 i 0 相量的长度是正弦电流的有效值I 相量与正实轴的夹角是正弦电流的初相 这种表示相量的图称为相量图 7 3相量法的基本概念 复指数函数的另一部分ej t 是一个随时间变化的旋转因子 它在复平面上是一个以原点为中心 以角速度 等速旋转 模为l的复数 旋转因子 7 3相量法的基本概念 1为旋转因子 取 取 取 7 3相量法的基本概念 正弦量为旋转相量在实轴上的投影 相量 乘以旋转因子ej t再乘以 即 所以将它称为旋转相量 称为旋转相量的复振幅相量 7 3相量法的基本概念 一个正弦量在任何时刻的瞬时值 等于对应的旋转相量该时刻在实轴上的投影 这个关系可以用上图分别所示的旋转相量和正弦量f t 的波形图之间的对应关系说明 对于任何正弦时间函数都可以找到唯一的与其对应的复指数函数 建立起一一对应关系 从而得到表示这个正弦量的相量 由于这种对应关系非常简单 因而可以直接写出 7 3相量法的基本概念 同频率正弦量的加减法 例 求 解 7 3相量法的基本概念 上述计算也可以根据平行四边形法则在相量图上进行 相量的加减法只对应同频率正弦量的加减法 7 3相量法的基本概念 相量的微分运算 设 则 而 则 于是得 7 3相量法的基本概念 当 其中 稳态响应 于是得 7 3相量法的基本概念 例 已知 求的iL t 7 3相量法的基本概念 解 这个微分方程的完全解由两部分构成 即通解和特解 其中 通解是电路的暂态电流 特解是电路的稳态电流 正弦稳态响应 为与电压u同频率的正弦量 7 3相量法的基本概念 运用相量法计算电路的稳态电流 于是 电路中电流 7 3相量法的基本概念 根据iL 0 0 确定积分常数 令t 0 7 3相量法的基本概念 a 取时 讨论 电路立刻进入稳态 b 取时 7 3相量法的基本概念 分析可知 在经过不到四分之一周期 电路中电流将达到最大 当 很大时 约是稳态电流幅值的两倍 7 4基尔霍夫定律的相量形式 当线性正弦稳态电路的电流都是同频率的正弦量时 KCL的相量形式 KCL的时域形式 因此 在所有时刻 对任一节点的KCL可表示为 7 4基尔霍夫定律的相量形式 其中 KCL的相量形式 则得到KCL的相量形式 为流出该节点的第k条支路正弦电流ik对应的相量 7 4基尔霍夫定律的相量形式 KVL的相量形式 在正弦稳态电路中 沿任一回路 KVL可表示为 其中 为回路中第k条支路的电压相量 注意 KCL KVL的相量形式所表示的是相量的代数和恒等于零 并非是有效值的代数和恒等于零 7 5正弦交流电路的三种基本电路元件 在正弦稳态电路中 三种基本电路元件R L C的电压 电流之间的关系都是同频率正弦量 所涉及的有关运算都可以用相量进行 因此这些关系的时域形式都可以转换为相量形式 7 5正弦交流电路的三种基本电路元件 电压 电流的参考方向关联 电阻R的伏安关系的时域形式 正弦交流电路中的电阻元件 电阻元件伏安关系 当正弦电流iR t IRmcos t i 通过电阻R时 R的电压 电流最大值 有效值 之间符合欧姆定律 7 5正弦交流电路的三种基本电路元件 uR与iR同相 令 电压 电流关联参考方向时 电阻的伏安关系相量形式为 7 5正弦交流电路的三种基本电路元件 线性电阻的相量电路 相量图如下 7 5正弦交流电路的三种基本电路元件 由于瞬时功率p是由同一时刻的电压与电流的乘积来确定的 因此当流过电阻R的电流为iR t IRmcos t i 时 电阻所吸收的瞬时功率为 功率 瞬时功率 可以看出 电阻吸收的功率是随时间变化的 但pR始终大于或等于零 表明了电阻的耗能特性 上式还表明了电阻元件的瞬时功率包含一个常数项和一个两倍于原电流频率的正弦项 即电流或电压变化一个循环时 功率变化了两个循环 7 5正弦交流电路的三种基本电路元件 7 5正弦交流电路的三种基本电路元件 瞬时功率在一周期内的平均值称为平均功率 记为P 功率 平均功率 在正弦稳态电路中 我们通常所说的功率都是指平均功率而言 平均功率又称为有功率 单位为W 7 5正弦交流电路的三种基本电路元件 电压 电流的参考方向关联 电感L的伏安关系的时域形式 正弦交流电路中的电感元件 电感元件伏安关系 当正弦电流iL t ILmcos t i 通过电感L时 7 5正弦交流电路的三种基本电路元件 L的电压 电流最大值 有效值 之间符合欧姆定律 感抗 XL随 的变化成线性 电感具有通低频阻高频的特性 7 5正弦交流电路的三种基本电路元件 uL超前iL 电压 电流关联参考方向时 电感的伏安关系相量形式为 7 5正弦交流电路的三种基本电路元件 在正弦电流电路中 线性电感的电压和电流在瞬时值之间不成正比 而在有效值之间 相量之间成正比 电压与电流有效值之间的关系不仅与L有关 还与角频率 有关 当L值不变 流过的电流值IL一定时 越高则UL越大 越低则UL越小 当 0 相当于直流激励 时 UL 0 电感相当于短路 7 5正弦交流电路的三种基本电路元件 在相位上电感电压超前电流90 7 5正弦交流电路的三种基本电路元件 线性电感的相量电路 相量图如下 7 5正弦交流电路的三种基本电路元件 当电感两端的电压为uL t ULmcos t u 时 流过电感的电流iL t ILmcos t i 则瞬时功率为 功率 瞬时功率 7 5正弦交流电路的三种基本电路元件 7 5正弦交流电路的三种基本电路元件 功率 平均功率 瞬时功率pL t 仅为一个两倍于原电流频率的正弦量 其平均值为零 即 即在正弦电流电路中 电感元件不吸收平均功率 7 5正弦交流电路的三种基本电路元件 功率 无功功率 为了描述电感元件与外部能量交换的规模 引入无功功率的概念 电感元件与外部能量交换的最大速率 即瞬时功率的振幅 定义为无功功率 单位 Var 乏 7 5正弦交流电路的三种基本电路元件 电压 电流的参考方向关联 电容C的伏安关系的时域形式 正弦交流电路中的电容元件 电感元件伏安关系 当正弦电压uC t UCmcos t u 通过电容C时 7 5正弦交流电路的三种基本电路元件 C的电压 电流最大值 有效值 之间符合欧姆定律 容抗 XC 随 的变化如下图 电容是通高频阻低频的器件 具有隔直作用 7 5正弦交流电路的三种基本电路元件 uC滞后iC 7 5正弦交流电路的三种基本电路元件 电压 电流关联参考方向时 电容的伏安关系相量形式为 7 5正弦交流电路的三种基本电路元件 线性电容的相量电路 相量图如下 7 5正弦交流电路的三种基本电路元件 当电感两端的电压为uC t UCmcos t u 时 流过电感的电流iC t ICmcos t i 则瞬时功率为 功率 瞬时功率 7 5正弦交流电路的三种基本电路元件 7 5正弦交流电路的三种基本电路元件 功率 平均功率 瞬时功率pC t 仅为一个两倍于原电流频率的正弦量 其平均值为零 即 即在正弦电流电路中 电容元件不吸收平均功率 7 5正弦交流电路的三种基本电路元件 功率 无功功率 单位 Var 乏 7 5正弦交流电路的三种基本电路元件 正弦电流电路的相量法 对于线性受控源 同样可以用相量形式表示 以CCVS为例 设在时域中有uk ij 其相量形式为 7 5正弦交流电路的三种基本电路元