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等差（比）数列性质的灵活应用发表在学习报2010-2011第10期总第1122期 第2版 2010年9月3日国内统一刊号CN14-00708/(F) 邮发代码：21-79等差（比）数列性质的灵活应用特级教师 王新敞 准确理解和熟记等差、等比数列的相关公式，灵活运用等差、等比数列的性质解题就可以达到事半功倍之效1等差数列相关公式及性质等差数列an的通项公式an=a1+(n-1)d 可以推广到an=ak+(n-k)d (其中a1为首项、ak为已知的第k项) 当d0时，an是关于n的一次式；当d=0时，an是一个常数根据通项公式，易得等差数列an中若m+n=p+q，则等差数列的前n项和公式Sn=或Sn=可以转化为Sn=，当d0时，Sn是关于n的二次式且常数项为0；当d=0时（a10），Sn=na1是关于n的正比例式而且等差数列的通项an与前n项和Sn总有关系：an=2等比数列相关公式及性质等比数列的通项公式an= a1 qn-1 可以推广到an= ak qn-k (其中a1为首项、ak为已知的第k项，an0)根据通项公式，易得等比数列an中，若m+n=p+q，则等比数列的前n项和公式：当q=1时，Sn=n a1 (是关于n的正比例式)；当q1时，Sn= 或Sn=可以转化为 例1 公差不为零的等差数列的第二、三、六项成等比数列,求公比q . 解: 设等差数列的通项an = a1+(n-1)d (d0).根据题意得 a32 = a2a6 即(a1+2d)2 = (a1+d)(a1+5d),解得 . 所以例2在等比数列an的前n项中，a1最小，且a1+an=66，a2 an-1=128，前n项和Sn=126, 求n和公比q解：an为等比数列 a1an=a2an-1由a1an=128 ， a1+an=66 且 a1最小，得a1=2 ，an=64解得解得n=6,n=6,q=2例3 已知正项等比数列an满足条件： ； ；求的通项公式解：易知 ，由已知得 ， 得 ，即 ， 得 ，即 ， 即，即 例4 在1与2之间插入n个正数a1,a2,a3,an使这n+2个数成等比数列;又在1与2之间插入n个正数b1,b2,b3,bn使这n+2个数成等差数列. 记An = a1a2a3an , Bn = b1+b2+b3+bn .求数列An和Bn的通项.解:1,a1,a2,a3,an , 2成等比数列, a1an = a2an-1 = = akan-k+1 = =12 = 2A2n = (a1an)( a2an-1)(akan-k+1)(an-1a2)(ana1) = 2n .1,b1,b2,b3,bn ,2成等差数列, b1+ bn = 1+2 = 3 ，等差数列和等比数列的通项公式、前n项和公式联系着五个基本量: a1,d(或q),n,an,Sn.“知三
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