高考数学理一轮复习 2.12 导数的应用精品课件 新人教A版.ppt

第十二节导数的应用 1 了解函数单调性和导数的关系 能利用导数研究函数的单调性 会求函数的单调区间 其中多项式函数一般不超过三次 2 了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件 会用导数求函数的极大值 极小值 其中多项式函数一般不超过三次 会求闭区间上函数的最大值 最小值 其中多项式函数一般不超过三次 3 会利用导数解决某些实际问题 一 函数的单调性与导数在区间 a b 内 函数的单调性与其导数的正负有如下关系 如果 那么函数y f x 在这个区间内单调递增 如果 那么函数y f x 在这个区间内单调递减 如果 那么f x 在这个区间内为常数 f x 0 f x 0 f x 0 二 函数的极值与导数1 函数的极小值函数y f x 在点x a的函数值f a 比它在x a附近其他点的函数值都小 f a 0 而且在点x a附近的左侧 右侧 则点a叫做函数y f x 的极小值点 f a 叫做函数y f x 的极小值 2 函数的极大值函数y f x 在点x b的函数值f b 比它在点x b附近的其他点的函数值都大 f b 0 而且在点x b附近的左侧 右侧 则点b叫做函数y f x 的极大值点 f b 叫做函数y f x 的极大值 f x 0 f x 0 f x 0 f x 0 极小值点 极大值点统称为极值点 极大值和极小值统称为极值 三 函数的最值1 如果在区间 a b 上函数y f x 的图象是一条的曲线 那么它必有最大值和最小值 2 求函数y f x 在 a b 上的最大值与最小值的步骤 1 求函数y f x 在 a b 内的 2 将函数y f x 的各极值与比较 其中最大的一个是最大值 最小的一个是最小值 连续不断 极值 端点处的函数值f a f b 2 设f x x ax2 bx c a 0 在x 1和x 1处均有极值 则下列点中一定在x轴上的是 a a b b a c c b c d a b c 4 函数f x x3 3ax2 3 a 2 x 1 既有极大值又有极小值 则a的取值范围是 解析 f x x3 3ax2 3 a 2 x 1 f x 3x2 6ax 3 a 2 令3x2 6ax 3 a 2 0 即x2 2ax a 2 0 函数f x 有极大值和极小值 方程x2 2ax a 2 0有两个不相等的实根 即 4a2 4a 8 0 a 2或a2或a 1 5 当圆柱形金属饮料罐的表面积为定值s时 它的底面半径为 时 才能使饮料罐的体积最大 热点之一函数的单调性与导数利用导数判断函数单调性是导数重要应用之一 常见形式为 1 求函数单调区间 2 已知函数的单调区间 求有关参数的取值范围 3 利用导数与函数单调性的关系解决有关函数与导函数图象问题 例1 已知a r 函数f x x2 ax ex x r e为自然对数的底数 1 当a 2时 求函数f x 的单调递增区间 2 若函数f x 在 1 1 上单调递增 求a的取值范围 3 函数f x 是否为r上的单调函数 若是 求出a的取值范围 若不是 请说明理由 2 函数f x 在 1 1 上单调递增 f x 0对x 1 1 都成立 f x 2x a ex x2 ax ex x2 a 2 x a ex x2 a 2 x a ex 0对x 1 1 都成立 3 若函数f x 在r上单调递减 则f x 0对x r都成立 即 x2 a 2 x a ex 0对x r都成立 ex 0 x2 a 2 x a 0对x r都成立 a 2 2 4a 0 即a2 4 0 这是不可能的 故函数f x 不可能在r上单调递减 若函数f x 在r上单调递增 则f x 0对x r都成立 即 x2 a 2 x a ex 0对x r都成立 ex 0 x2 a 2 x a 0对x r都成立 而 a 2 2 4a a2 4 0 故函数f x 不可能在r上单调递增 综上可知 函数f x 不可能是r上的单调函数 热点之二函数的极值与导数求可导函数f x 的极值的步骤 1 求导数f x 2 求方程f x 0的根 3 检验f x 在方程f x 0的根的左右两侧的符号 如果在根的左侧附近为正 右侧附近为负 那么函数y f x 在这个根处取得极大值 如果在根的左侧附近为负 右侧附近为正 那么函数y f x 在这个根处取得极小值 热点之三函数的最值与导数1 函数的最大值和最小值是一个整体性概念 最大值必须是整个区间上所有函数值中的最大值 最小值必须是整个区间上所有函数值中的最小值 2 函数的最大值 最小值是比较整个定义区间的函数值得出来的 函数的极值是比较极值点附近的函数值得出来的 函数的极值可以有多有少 但最值只有一个 极值只能在区间内取得 最值则可以在端点取得 有极值的未必有最值 有最值的未必有极值 极值可能成为最值 最值只要不在端点必定是极值 例3 已知a是实数 函数f x x2 x a 1 若f 1 3 求a的值及曲线y f x 在点 1 f 1 处的切线方程 2 求f x 在区间 0 2 上的最大值 思路探究 1 由f 1 3可求a值 求切线方程只需求斜率k及点 1 f 1 的坐标 2 可先判断f x 的单调性及极值 再与f 0 f 2 比较 即可求出最大值 热点之四导数的综合应用综合应用是指结合方程 不等式其他分支内容的综合考查 此类问题一般综合性强 涉及面广 较繁杂 难度一般也较大 主要体现形式为解答题 内容形式多为构造函数 利用导数研究方程根的分布 两曲线交点个数 利用导数证明不等式 解决有关不等式问题 求不等式有解或恒成立时参数的取值 例4 设a 0 f x x 1 ln2x 2alnx x 0 1 令f x xf x 讨论f x 在 0 内的单调性并求极值 2 求证 当x 1时 恒有x ln2x 2alnx 1 思路探究 用导数证明不等式需要通过构造函数并求函数的最值 所以 f x 在 0 2 内单调递减 在 2 内单调递增 在x 2处取得极小值f 2 2 2ln2 2a 2 证明 由a 0知 f 2 2 2ln2 2a 0 于是由上表知 对一切x 0 恒有f x xf x 0 从而当x 0时 恒有f x 0 故f x 在 0 内单调递增 所以当x 1时 f x f 1 0 即x 1 ln2x 2alnx 0 故当x 1时 恒有x ln2x 2alnx 1 思维拓展 欲证不等式f x g x 设f x f x g x 即证f x min 0 而欲证方程f x 0有多少个解 即求f x 的极值 结合图象 通过极值的正负决定解的个数 注意 函数图象要连续 从近两年的高考试题来看 利用导数来研究函数的单调性和极值问题已成为炙手可热的考点 既有小题 也有解答题 小题主要考查利用导数研究函数的单调性和极值 解答题主要考查导数与函数单调性 或方程 不等式的综合应用 例5 2010 全国 已知函数f x x 1 lnx x 1 1 若xf x x2 ax 1 求a的取值范围 2 证明 x 1 f x 0 2 由 1 知 g x g 1 1 即lnx x 1 0 当0 x 1时 f x x 1 lnx x 1 xlnx lnx x 1 0 1 2010 课标全国 设函数f x ex 1 x ax2 1 若a 0 求f x 的单调区间 2 若当x 0时 f x 0 求a的取值范围 解 1 当a 0时 f x ex 1 x f x ex 1 当x 0