高考数学一轮总复习名师精讲 第58讲数学归纳法及其应用课件 理.ppt

第十三章极限 理 2012高考调研考纲要求1 理解数学归纳法的原理 能用数学归纳法证明一些简单的数学命题 2 了解数列极限和函数极限的概念 3 掌握极限的四则运算法则 会求某些数列与函数的极限 4 了解连续的意义 理解闭区间上连续函数有最大值和最小值的性质 考情分析极限部分是中学数学与大学数学的重要衔接点之一 是近年高考理科数学的热点 涉及的相应试题难度不大 多以选择题和填空题的形态出现 常考知识点有判断极限是否存在 在极限存在时求其值 利用极限判断函数在给定点的连续性以及连续性的运用等 其中极限概念及其基本运算 函数连续性是考查重点 除此以外 与数学归纳法关联的 归纳 猜想 证明 是数学研究的一种常用科学方法与思维形式 是中学数学的基本方法之一 在近年高考中 多以数列型压轴题的形式出现 数学高考仍保持着上述特点 主要考查极限的概念与求法 另外 在福建 湖北 全国 等试卷中出现的极限问题与二项式定理 数列等知识的综合 是高考关于极限考查的一个新趋势 第五十八讲数学归纳法及其应用 回归课本1 归纳法由一系列有限的特殊事例得出一般结论的推理方法 叫做归纳法 2 数学归纳法先证明当n取第一个值n0时 命题成立 然后假设当n k k n k n0 时命题成立 证明当n k 1时 命题也成立 这种证明方法叫做数学归纳法 3 用数学归纳法证明了一个与正整数有关的命题的步骤是 1 证明当n取第一个值n0时 命题成立 2 假设n k k n k n0 时 命题成立 证明当n k 1时 命题也成立 在完成了这两个步骤以后 就可以断定命题对从n0开始所有正整数都成立 解析 边数为n的初始值为3 答案 c 答案 c 3 若把正整数按下图所示的规律排序 则从2007到2009的箭头方向依次为 a b c d 解析 通过观察规律 可以发现其以4为周期变化 因此2007到2009的箭头规律与3到5的相同 故选c 答案 c 4 我们运用数学归纳法证明某一个关于正整数n的命题时 在由 n k时论断成立 n k 1时论断也成立 的过程中 a 必须运用假设b 可以部分地运用假设c 可不用假设d 应视情况灵活处理 a b c均可解析 由数学归纳法的步骤知 选a 答案 a 5 某个命题与正整数n有关 若n n 时该命题成立 那么可推得当n 1时该命题也成立 现已知n 5时 该命题不成立 那么可以推得 a n 6时 该命题不成立b n 6时 该命题成立c n 4时 该命题不成立d n 4时 该命题成立解析 考虑原命题的逆否命题 选c 答案 c 类型一用数学归纳法证明等式问题解题准备 用数学归纳法证明与自然数有关的一些等式命题 关键在于弄清等式两边的构成规律 等式的两边各有多少项 由n k到n k 1时 等式的两边会增加多少项 增加怎样的项 难点在于寻求等式中n k和n k 1时之间的联系 点评 1 此题为数学归纳法证明问题的一种新题型 传统问题论证对连续的正整数成立 而这里变成对连续的正偶数成立 归纳假设为n 2k 与它连续的是2k 2 相当于由k到k 1 应注意体会数学归纳法的这种变形使用 把它用活 2 本题亦可假设n k k为正偶数 成立 证明n k 2成立 探究1 用数学归纳法证明 当n n 时 1 22 2 32 3 42 4 52 2n 1 2n 2 2n 2n 1 2 n n 1 4n 3 证明 1 当n 1时 左式 1 22 2 32 14 右式 1 2 7 14 等式成立 2 假设当n k时等式成立 即 1 22 2 32 3 42 4 52 2k 1 2k 2 2k 2k 1 2 k k 1 4k 3 则当n k 1时 1 22 2 32 3 42 4 52 2k 1 2k 2 2k 2k 1 2 2k 1 2k 2 2 2k 2 2k 3 2 k k 1 4k 3 2 k 1 4k2 12k 9 4k2 6k 2 k k 1 4k 3 2 k 1 6k 7 k 1 4k2 15k 14 k 1 k 2 4k 7 k 1 k 1 1 4 k 1 3 当n k 1时 等式也成立 由 1 2 可知 等式对一切n n 都成立 点评 用数学归纳法证题的关键在第二步 而第二步的难点在于寻求命题为n k时和n k 1时之间的联系 类型二用数学归纳法证明不等式问题解题准备 用数学归纳法证明与n有关的不等式一般有两种具体形式 一是直接给出不等式 按要求进行证明 二是给出两个式子 按要求比较它们的大小 对第二类形式 往往要先对n取前几个值的情况分别验证比较 以免出现判断失误 再猜出从某个n值开始都成立的结论 最后用数学归纳法证明 分析 用数学归纳法证明不等式 设第二步时 用上归纳假设后 还需应用证明不等式的一般方法 比较法 放缩法等 来证明 证明 1 当n 1时 左边 1 右边 1 左 右 即命题成立 点评 用数学归纳法证明不等式 关键是证明第二步 证明第二步时 当用上归纳假设后 如果不能直接证出来 常需再考虑证明不等式的一般方法 此时 特别要注意解题的目标意识 点评 用数学归纳法证明不等式时 推证 k 1 亦成立时是关键 证明不等式的一切方法 如比较法 分析法 综合法或收缩法等均可灵活地运用 类型三用数学归纳法证明整除问题 典例3 用数学归纳法证明 3n 1 7n 1 n n 能被9整除 分析 用数学归纳法证明整除问题 关键是在n k 1时如何 凑 出归纳假设 证明 证法一 令f n 3n 1 7n 1 1 f 1 3 1 1 71 1 27能被9整除 2 假设f k k n 能被9整除 则f k 1 f k 3k 4 7k 1 1 3k 1 7k 1 9 2k 3 7k f k 1 f k 9 2k 3 7k能被9整除 由 1 2 知 对一切n n 命题成立 证法二 1 n 1时 4 7 1 27能被9整除 2 若n k k n k 1 时命题成立 即 3k 1 7k 1能被9整除 则n k 1时 3 k 1 1 7k 1 1 3k 1 3 1 6 7k 1 3k 1 7k 1 3k 1 6 7k 21 7k 3k 1 7k 1 18k 7k 27 7k n k 1时也能被9整除 由 1 2 知 命题对一切n n 都成立 点评 这两种证法的实质是相同的 第一种证法是用f k 1 f k 寻找f k 1 与f k 的差 看这个差能否被9整除 而第二种证法是从f k 1 中凑出f k 然后再证余下的部分也能被9整除 第一种证法直截了当 探究3 用数学归纳法证明 x 1 n 1 x 2 2n 1 n n 能被x2 3x 3整除 证明 在证明n k 1成立时 为了利用上归纳假设 需对n k 1时的式子进行添加项 配凑成n k时的形式 1 当n 1时 x 1 1 1 x 2 2 1 1 x2 3x 3 显然能被x2 3x 3整除 命题成立 2 假设当n k时 命题成立 即 x 1 k 1 x 2 2k 1能被x2 3x 3整除 那么当n k 1时 x 1 k 1 1 x 2 2 k 1 1 x 1 x 1 k 1 x 2 2 x 2 2k 1 x 1 x 1 k 1 x 1 x 2 2k 1 x 1 x 2 2k 1 x 2 2 x 2 2k 1 x 1 x 1 k 1 x 2 2k 1 x2 3x 3 x 2 2k 1 因为 x 1 k 1 x 2 2k 1和x2 3x 3都能被x2 3x 3整除 所以上面的式子也能被x2 3x 3整除 即当n k 1时命题成立 根据 1 2 可知 对任意n n 命题成立 点评 1 在证明n k 1成立时 先将n k 1原式进行分拆 重组或者添加项等方式进行整理 最终将其变成一个或多个部分的和 其中每个部分被约定的数 或式子 整除 从而由部分的整除性得出整体的整除性 最终证得n k 1也成立 2 在对n k 1式子进行添加项整理时 要添加的项完全由当时式子中的各项确定 如探究3除解答中的添加方式外 还可以添加 x 2 2 x 1 k 1 x 2 2 x 1 k 1 进行整理 类型四用数学法归纳解决探索性问题解题准备 从若干特殊事例出发 通过观察 分析 比较 归纳 猜想出一般结论 然后借助于数学归纳法予以论证 这一思想方法对分析问题和解决问题是非常重要的 特别是在求解存在性问题与探索性问题中 要经常使用 因此 它是高考命题的热点之一 典例4 比较2n与n2的大小 其中n n 解析 先对n取前几个值时直接比较大小 然后由这几个特殊值的大小关系归纳出一般情况下二者的大小关系 最后用数学归纳法证明 当n 1时 21 12 即2n n2 当n 2时 22 22 即2n n2 当n 3时 23 32 即2n n2 当n 4时 24 42 即2n n2 当n 5时 25 52 即2n n2 当n 6时 26 62 即2n n2 猜想 当n 5时 2n n2 下面用数学归纳法证明猜想成立 1 当n 5时 由上可知猜想成立 2 假设当n k k 5 时 命题成立 即2k k2 那么当n k 1时 2k 1 2 2k 2k2 k2 k2 k2 2k 1 k 1 2 即当n k 1时 猜想成立 根据 1 2 可知 当n 5时 2n n2都成立 点评 1 用数学归纳法证明与正整数n有关的不等式一般有两种具体形式 一是直接给出不等式 按要求进行证明 二是给出两个式子 按要求比较它们的大小 对第二类形式往往先对n取前几个值的情况分别验证比较 以免出现判断失误 最后猜出从某个n值开始都成立的结论 再用数学归纳法证明 2 在证明n k 1成立时 也要注意必须利用上述归纳假设和明确式子一侧的添加项的数目 具体步骤同证明等式一样分两步走 即先设假设 再设结论 探究4 已知y f x 满足f n 1 f n lgan 1 n 2 n n 且f 1 lga 是否存在实数 使f n n2 n 1 lga 对任何n n 都成立 证明你的结论 点评 用特值法构造 满足的两个方程 求 值 再用数学归纳法证明n n 成立 这个方法有普遍意义 是解决存在性问题的一个行之有效的办法 快速解题技法图中的线段规则排列 试猜想第8个图形