高考数学总复习 第2单元第10节 函数与方程课件 文 新人教A版.ppt

第十节函数与方程 基础梳理 1 函数零点的定义 对于函数y f x x d 我们把使 叫做函数y f x x d 的零点 即 函数y f x 的零点就是 亦即 2 方程f x 0有实数根 函数y f x 的图象 有交点 函数y f x 函数y f x 的图象与x轴交点的横坐标 f x 0成立的实数x 方程f x 0的实数根 有零点 与x轴 3 函数零点的判断一般地 如果函数y f x 在区间 a b 上的图象是连续不断的一条曲线 并且有 那么函数y f x 在区间 a b 内有零点 即存在c a b 使得 这个c也就是f x 0的根 我们把这一结论称为零点存在性定理 f c 0 f a f b 0 4 二次函数的零点下表是二次函数y ax2 bx c a 0 的图象与零点的关系 a 0时依此类推 x1 0 x2 0 x1 0 无交点 两个零点 一个零点 无零点 5 二分法的定义 对于在区间 a b 上连续不断且f a f b 0的函数y f x 通过不断地把函数f x 的零点所在的区间 使区间的两个端点 进而得到零点的近似值的方法叫做二分法 逐步逼近零点 一分为二 6 给定精确度e 用二分法求函数f x 零点近似值的步骤如下 1 确定区间 a b 验证f a f b 0 给定精确度e 2 求区间 a b 的中点c 3 计算f c 若f c 0 则c就是函数的零点 若f a f c 0 则令b c 此时零点x0 a c 若f c f b 0 则令a c 此时零点x0 c b 4 判断是否达到精确度e 即若 a b e 则得到零点近似值a 或b 否则重复 2 4 1 教材改编题 函数f x lnx 零点所在区间大致是a 1 2 b 2 3 c 和 3 4 d e 基础达标 b解析 因为f 1 2 0 f 2 ln2 1 0 所以f x 在 1 2 内不一定有零点 a错误 又 所以f 2 f 3 0 所以f x 在 2 3 内至少有一个零点 2 若函数f x x2 2x a没有零点 则实数a的取值范围是 a a1c a 1d a 1 b解析 由方程x2 2x a 0的判别式小于0可得a 1 3 下列函数图象中 能用二分法求零点近似解的是 d解析 根据二分法的定义易知选d 4 教材改编题 若函数y f x 是偶函数 定义域为 x x 0 且f x 在 0 上是减函数 f 2 0 则函数f x 的零点有 a 唯一一个b 两个c 至少两个d 无法判断 b解析 因为f x 在 0 上是减函数 f 2 0 所以 0 上只有一个零点 又因为y f x 是偶函数 所以 0 上也有一个 故选b 5 若函数y f x 在区间 0 4 上的图象是连续不断的曲线 且方程f x 0在 0 4 内仅有一个实数根 则f 0 f 4 的值 a 大于0b 小于0c 等于0d 无法判断 d解析 都有可能 所以无法判断 故选d 例1 求函数 x 0 的零点 并画出其大致图象 经典例题 题型一确定函数的零点 分析 令f x 0 得零点 然后结合零点及零点两侧函数值的符号画函数的大致图象 解 令f x 0 得即x2 3x 2 0 解得x1 1 x2 2 f x 的零点是1 2 当x 0 1 时 f x 0 x 2 时 f x 0 当x 1 2 时 f x 0 其大致图象如图所示 函数y 9x 6 3x 7 0的零点是 变式1 1 解析 3x 2 6 3x 7 0 3x 7或3x 1 舍去 x log37 x log37 例2 已知二次函数f x x2 16x q 3 若函数在区间 1 1 上存在零点 求实数q的取值范围 题型二零点的分布问题 分析 画出二次函数的图象 使图象满足在区间 1 1 上有零点 然后根据图象从判别式 对称轴 区间端点函数值的符号三个方面找到需要满足的条件 画图时注意图形本身隐含的条件 如此题中对称轴是确定的 解 函数f x x2 16x q 3的对称轴是x 8 f x 在区间 1 1 上是减函数 函数在区间 1 1 上存在零点 则必有 即 20 q 12 2010上海 若x0是方程lgx x 2的解 则x0属于区间a 0 1 b 1 1 25 c 1 25 1 75 d 1 75 2 变式2 1 d解析 构造函数f x lgx x 2 由 f 2 lg2 0 故x0属于区间 1 75 2 例3 若函数f x ax x a a 0且a 1 有两个零点 则实数a的取值范围是 题型三根据函数的零点 或方程的根 的存在情况 求参数 分析 将函数f x 的零点问题转化成两个函数图象的交点问题 利用数形结合解决 解 设函数y1 ax a 0且a 1 和函数y2 x a a 0且a 1 则函数f x ax x a a 0且a 1 有两个零点 就是函数y1 ax a 0且a 1 与函数y2 x a有两个交点 由图象可知当0 a 1时两函数只有一个交点 不符合 当a 1时 因为函数y ax a 1 的图象过点 0 1 而直线y x a过点 0 a 一定在点 0 1 的上方 所以一定有两个交点 所以实数a的取值范围是 1 已知f x 3ax 2a 1的定义域为 1 1 且存在x0使得f x0 0 求实数a的取值范围 变式3 1 解析 当a 0时 f x 1 无零点 所以a 0 由一次函数的图象可知 f 1 f 1 0 3a 2a 1 3a 2a 1 0 5a 1 a 1 0 a 或a 1 易错警示 例 判断方程4x2 9 0在区间 1 1 内是否有实数解 错解设f x 4x2 9 则f 1 50 因此函数f x 在 1 1 之间无零点 所以方程4x2 9 0在 1 1 内无实数解 设f x 4x2 9 由于x 1 1 时 4x2 4 f x 4x2 9 5 故f x 的图象在区间 1 1 上与x轴无交点 因此函数f x 在区间 1 1 上无零点 即方程4x2 9 0在 1 1 内无实数解 解析 链接高考 2010浙江 已知x0是函数的一个零点 若x1 1 x0 x2 x0 则 a f x1 0 f x2 0b f x1 0 f x2 0c f x1 0 f