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2010年全国初中数学联合竞赛试题参考答案第一试一、选择题:(本题满分42分,每小题7分)1. 若均为整数且满足,则 ( B )A1. B2. C3. D4.2若实数满足等式,则可能取的最大值为 ( C )A0. B1. C2. D3.3若是两个正数,且 则 ( C )A. B. C. D.4若方程的两根也是方程的根,则的值为 ( A )A13. B9. C6. D 0.5在中,已知,D,E分别是边AB,AC上的点,且,,则 ( B )A15. B20. C25. D30.6对于自然数,将其各位数字之和记为,如,则 ( D )A28062. B28065. C28067. D28068.二、填空题:(本题满分28分,每小题7分)1已知实数满足方程组则 13 .2二次函数的图象与轴正方向交于A,B两点,与轴正方向交于点C已知,则 3在等腰直角ABC中,ABBC5,P是ABC内一点,且PA,PC5,则PB_4将若干个红、黑两种颜色的球摆成一行,要求两种颜色的球都要出现,且任意中间夹有5个或10个球的两个球必为同一种颜色的球.按这种要求摆放,最多可以摆放_15_个球.第二试 (A)一(本题满分20分)设整数()为三角形的三边长,满足,求符合条件且周长不超过30的三角形的个数.解 由已知等式可得 令,则,其中均为自然数.于是,等式变为,即 由于均为自然数,判断易知,使得等式成立的只有两组:和 (1)当时,.又为三角形的三边长,所以,即,解得.又因为三角形的周长不超过30,即,解得.因此,所以可以取值4,5,6,7,8,对应可得到5个符合条件的三角形. (2)当时,.又为三角形的三边长,所以,即,解得.又因为三角形的周长不超过30,即,解得.因此,所以可以取值2,3,4,5,6,7,对应可得到6个符合条件的三角形.综合可知:符合条件且周长不超过30的三角形的个数为5611. 二(本题满分25分)已知等腰三角形ABC中,ABAC,C的平分线与AB边交于点P,M为ABC的内切圆I与BC边的切点,作MD/AC,交I于点D.证明:PD是I的切线. 证明 过点P作I的切线PQ(切点为Q)并延长,交BC于点N.因为CP为ACB的平分线,所以ACPBCP.又因为PA、PQ均为I的切线,所以APCNPC.又CP公共,所以ACPNCP,所以PACPNC.由NMQN,BABC,所以QNMBAC,故NMQACB,所以MQ/AC.又因为MD/AC,所以MD和MQ为同一条直线.又点Q、D均在I上,所以点Q和点D重合,故PD是I的切线. 三(本题满分25分)已知二次函数的图象经过两点P,Q.(1)如果都是整数,且,求的值.(2)设二次函数的图象与轴的交点为A、B,与轴的交点为C.如果关于的方程的两个根都是整数,求ABC的面积.解 点P、Q在二次函数的图象上,故,解得,. (1)由知解得.又为整数,所以,.(2) 设是方程的两个整数根,且.由根与系数的关系可得,消去,得,两边同时乘以9,得,分解因式,得.所以或或或解得或或或又是整数,所以后面三组解舍去,故.因此,二次函数的解析式为.易求得点A、B的坐标为(1,0)和(2,0),点C的坐标为(0,2),所以ABC的面积为.第二试 (B)一(本题满分20分)设整数为三角形的三边长,满足,求符合条件且周长不超过30的三角形的个数(全等的三角形只计算1次).解 不妨设,由已知等式可得 令,则,其中均为自然数.于是,等式变为,即 由于均为自然数,判断易知,使得等式成立的只有两组:和 (1)当时,.又为三角形的三边长,所以,即,解得.又因为三角形的周长不超过30,即,解得.因此,所以可以取值4,5,6,7,8,对应可得到5个符合条件的三角形. (2)当时,.又为三角形的三边长,所以,即,解得.又因为三角形的周长不超过30,即,解得.因此,所以可以取值2,3,4,5,6,7,对应可得到6个符合条件的三角形.综合可知:符合条件且周长不超过30的三角形的个数为5611. 二(本题满分25分)题目和解答与(A)卷第二题相同. 三(本题满分25分)题目和解答与(A)卷第三题相同. 第二试 (C)一(本题满分20分)题目和解答与(B)卷第一题相同. 二(本题满分25分)题目和解答与(A)卷第二题相同. 三(本题满分25分)设是大于2的质数,k为正整数若函数的图象与x轴的两个交点的横坐标至少有一个为整数,求k的值解 由题意知,方程的两根中至少有一个为整数由根与系数的关系可得,从而有 (1)若,则方程为,它有两个整数根和 (2)若,则.因为为整数,如果中至少有一个为整数,则都是整数.
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