高考数学总复习 第1单元第2节 命题及其关系、充分条件与必要条件课件 文 新人教B版.ppt

第二节命题及其关系 充分条件与必要条件 1 四种命题 若q则p 若 p则 q 若 q则 p 若p则q 2 四种命题及其关系 基础梳理 1 命题用语言 符号或式子表达的 可以 的陈述句叫做命题 命题有 与 之分 判断真假 真命题 假命题 2 四种命题及其关系 3 原命题与它的 一定同真或同假 同样 它的 与 也一定同真或同假 即互为逆否的两个命题是 逆否命题 逆命题 否命题 等价的 3 充分条件与必要条件 1 定义 对命题 若p 则q 而言 当它是真命题时 p是q的 q是p的 当它的逆命题为真时 q是p的 p是q的 两种命题均为真时 称p是q的 2 在判断充分条件及必要条件时 首先要分清哪个是条件 哪个是结论 其次 结论要分四种情况说明 充分不必要条件 充要条件 充分条件 必要条件 充分条件 必要条件 充要条件 必要不充分条件 既不充分又不必要条件 基础达标 1 下列句子或式子中命题的个数是 语文和数学 x2 3x 4 0 3x 2 0 垂直于同一条直线的两条直线必平行吗 一个数不是合数就是素数 把门关上 a 1b 3c 5d 22 2010 陕西 a 0 是 a 0 的 a 充分不必要条件b 必要不充分条件c 充要条件d 既不充分也不必要条件 a a 1 解析 能判断真假的陈述句为命题 故只有 为命题 2 解析 a 0 a 0 a 0 a 0 a 0 是 a 0 的充分不必要条件 3 解析 逆命题 设a b c r 若a b 则ac2 bc2 为假命题 否命题 设a b c r 若ac2 bc2 则a b 为假命题 逆否命题 设a b c r 若a b 则ac2 bc2 为真命题 3 2010 银川模拟 命题 设a b c r 若ac2 bc2 则a b 的逆命题 否命题 逆否命题中真命题共有 a 0个b 1个c 2个d 3个 b 4 命题 如果 x 2 2 y 1 2 0 则x 2且y 1 的逆否命题为 若x 2或y 1 则 x 2 2 y 1 2 0 4 解析 若p则q的逆否命题为若 q则 p 又因为 x 2且y 1 的否定为 x 2或y 1 所以答案为 若x 2或y 1 则 x 2 2 y 1 2 0 5 教材改编题 下列说法中正确的个数为 x2 3x 4 是 x 的充要条件 a b 是 a2 b2 的充分条件 x 2 是 x 3 的必要条件 x 1 0 是 x 1 x 4 0 的充分不必要条件 a 0b 1c 2d 3 b 解析 x2 3x 4 x 但是x x2 3x 4 x2 3x 4是x 的必要不充分条件 既不充分也不必要条件 既不充分也不必要条件 正确 故正确的个数为1个 选b 经典例题 例1 以下列命题为原命题 分别写出它们的逆命题 否命题和逆否命题 并判断它们的真假 1 若q 1 则方程x2 2x q 0有实根 2 已知a b c d是实数 若a b c d 则a c b d 题型一四种命题的关系及命题真假的判定 分析 首先应当把原命题改写成 若p 则q 的形式 再设法构造其余的三种形式命题 解 1 逆命题 若方程x2 2x q 0有实根 则q 1 假命题 否命题 若q 1 则方程x2 2x q 0 无实根 假命题 逆否命题 若方程x2 2x q 0无实根 则q 1 真命题 2 原命题 已知a b c d是实数 若a b c d 则a c b d 其中 已知a b c d是实数 是大前提 a b c d 是条件 a c b d 是结论 显然原命题是正确的 逆命题 已知a b c d是实数 若a c b d 则a b c d 此命题不正确 如a c b d 2 可有a c 1 b 0 8 d 1 2 则a b c d 否命题 已知a b c d是实数 若a b或c d 则a c b d 注意 a b c d 的否定是 a b或c d 只需要至少有一个不等即可 此命题不正确 a 1 c 1 b 1 5 d 0 5 a b或c d 但a c b d 逆否命题 已知a b c d是实数 若a c b d 则a b或c d 逆否命题还可以写成 已知a b c d是实数 若a c b d 则a b c d两个等式至少有一个不成立 由原命题为真得此命题显然为真 分别写出下列命题的逆命题 否命题 逆否命题 并判断它们的真假 1 面积相等的两个三角形是全等三角形 2 若x2 y2 0 则实数x y全为零 变式1 1 1 逆命题 全等三角形的面积相等 真命题 否命题 面积不相等的两个三角形不是全等三角形 真命题 逆否命题 两个不全等的三角形的面积不相等 假命题 解析 2 逆命题 若实数x y全为零 则x2 y2 0 真命题 否命题 若x2 y2 0 则实数x y不全为零 真命题 逆否命题 若实数x y不全为零 则x2 y2 0 真命题 例2 改编题 下列各题中 p是q的什么条件 1 在 abc中 p a b q sina sinb 2 对于实数x y p x y 8 q x 2或y 6 题型二充分条件与必要条件的判定 分析 充分条件 必要条件 充要条件的判定可以直接利用定义 先分清条件和结论 然后推断 p q 及 q p 的真假 还可以利用等价转化的方法 转化为逆否命题来判断 如第 2 小题 用 充分不必要 必要不充分 充要 既不充分也不必要 填空 1 若非空集合a b c满足a b c 且b不是a的子集 则 p x c 是 q x a 的 条件 2 p x 0 是 q x 0 的 条件 变式2 1 1 必要不充分 2 充分不必要解析 例3 设f x 为r上的增函数 a b r 求证 f a f b f a f b 是a b 0的充要条件 题型三充要条件的证明 欲证充要条件 实际上就是证明命题 若a b 0 则f a f b f a f b 及其逆命题都是正确的 分析 证明 1 必要性 若a b 0 则a b b a 由于f x 为r上的增函数 则f a f b f b f a 即f a f b f a f b 2 充分性 若f a f b f a f b 假设a b 0 则a b b a 由于f x 为r上的增函数 则f a f b f b f a 得f a f b f a f b 与已知矛盾 故a b 0 求证 关于x的方程ax2 bx c 0有一个正根和一个负根的充要条件是ac 0 变式3 1 充分性 ac 0 a 0且b2 4ac 0 方程ax2 bx c 0有两个不等实根x1 x2 ac 0 a c异号 x1x2 0 x1 x2异号 即关于x的方程ax2 bx c 0有一个正根和一个负根 证明 必要性 若关于x的方程ax2 bx c 0有一个正根x1和一个负根x2 则x1x2 0 x1x2 0 即a c异号 ac 0 综上所述 关于x的方程ax2 bx c 0有一个正根和一个负根的充要条件是ac 0 例4 已知p 2 x 10 q 1 m x 1 m m 0 若 p是 q的必要不充分条件 求实数m的取值范围 题型四充分条件与必要条件的应用 分析 可以有两个思路 解 方法一 先求出 p a x x 10或x 2 q b x x 1 m或x 1 m p是 q的必要不充分条件 b a 它等价于且两个等号不能同时取到 m 9 方法二 p是 q必要不充分条件 的等价命题是 p是q的充分不必要条件 设p a x 2 x 10 q b x 1 m x 1 m m 0 p是q的充分不必要的条件 a b 且两个等号不能同时取到 m 9 易错警示 例 若p x2 2x 3 0 q 0 则 p是 q的什么条件 错解 p x2 2x 3 0 1 x 3 q 0 2 x 3 p是 q的既不充分又不必要条件 错解分析上述错误解法在于对命题的否定的概念理解错误 误认为 q 0 事实上x