高考数学一轮复习 第三章不等式选讲第一节不等关系与基本不等式课件 理 北师大版.ppt

2 绝对值不等式的解法 1 ax b c ax b c型不等式的解法 c 0 则 ax b c的解为 c ax b c ax b c的解为ax b c或ax b c 然后根据a b的值解出即可 c 0 则 ax b c的解集为 ax b c的解集为r 2 x a x b c x a x b c型不等式的解法 解这类含绝对值的不等式的一般步骤 令每个绝对值符号里的一次式为0 求出相应的根 把这些根由小到大排序 它们把实数轴分为若干个区间 在所分区间上 根据绝对值的定义去掉绝对值符号 讨论所得的不等式在这个区间上的解集 这些解集的并集就是原不等式的解集 3 绝对值的三角不等式定理1 若a b为实数 则 a b a b 当且仅当ab 0时 等号成立 定理2 设a b c为实数 则 a c a b b c 等号成立 a b b c 0 即b落在a c之间 推论1 a b a b 推论2 a b a b 1 设ab 0 下面四个不等式中 正确的是 a b a a b a b a 和 b 和 c 和 d 和 2 不等式1 x 1 3的解集为 a 0 2 b 2 0 2 4 c 4 0 d 4 2 0 2 4 若不等式 ax 2 6的解集为 1 2 则实数a等于 a 8b 2c 4d 85 不等式 2x 1 x 2 0的解集为 基础自测答案1 答案 c解析 ab 0 a b同号 a b a b 和 正确 2 答案 d解析 由1 x 1 3 得1 x 1 3或 3 x 1 1 0 x 2或 4 x 2 不等式的解集为 4 2 0 2 4 答案 c解析 由 ax 2 6 得 6 ax 2 6 即 8 ax 4 不等式 ax 2 6的解集为 1 2 易检验a 4 题型一算术几何平均不等式的应用 题型二含绝对值不等式的解法 例2解下列不等式 1 17 x 3 x 1 x 2 5 2 由不等式 2x 5 7 x 可得2x 5 7 x或2x 52 或x2 3 分别求 x 1 x 2 的零点 即1 2 由 2 1把数轴分成三部分 x1 当x1时 原不等式即x 1 2 x 5 解得1 x 2 综上 原不等式的解集为 x 3 x 2 1 解绝对值不等式的关键是去掉绝对值符号 其方法主要有 利用绝对值的意义 利用公式 平方 分区间讨论等 2 利用平方法去绝对值符号时 应注意不等式两边非负才可进行 3 零点分段法解绝对值不等式的步骤 求零点 划区间 去绝对值号 分别解去掉绝对值的不等式 取每个结果的并集 注意在分段时不要遗漏区间的端点值 互动训练2 设函数f x 2x 1 x 4 1 解不等式f x 2 2 求函数y f x 的最小值 题型三含绝对值的不等式的证明 例3已知f x x2 x c定义在区间 0 1 上 x1 x2 0 1 且x1 x2 证明 1 f 0 f 1 2 f x2 f x1 x1 x2 听课记录 1 将x 0 1代入f x 验证即可 2 左边因式分解出 x1 x2 再判定其余部分的大小 3 添加项并利用不等式的性质进行放缩 4 转化为f x 的最大值和最小值问题 1 f 0 c f 1 c 故f 0 f 1 2 f x2 f x1 x22 x2 c x12 x1 c x2 x1 x2 x1 1 0 x1 1 0 x2 1 0 x1 x2 2 x1 x2 1 x1 x2 1 1 f x2 f x1 x1 x2 3 不妨设x2 x1 由 2 知 f x2 f x1 x2 x1 而由 1 知f 0 f 1 从而 f x2 f x1 f x2 f 1 f 0 f x1 f x2 f 1 f 0 f x1 1 x2 x1 1 x2 x1 得2 f x2 f x1 1 证明含有绝对值的不等式 其思路主要有两条 一是恰当地运用 a b a b a b 进行放缩 并注意不等号的传递性及等号成立的条件 二是把含有绝对值的不等式等价转化为不含有绝对值的不等式 再利用比较法 综合法及分析法等进行证明 其中去掉绝对值符号的常用方法是平方法 互动训练3 已知 a 1 b 1 试比较 a b a b 与2的大小 思路分析 欲比较 a b a b 与2的大小 应将 a b a b 利用绝对值三角不等式定理变为关于 a 或 b 的关系式 再与2比较大小 解 当a b与a b同号时 a b a b a b a b 2 a 2 当a b与a b异号时 a b a b a b a b 2 b 2 a b a b 2 例4 2010 福建卷 已知函数f x x a 1 若不等式f x 3的解集为 x 1 x 5 求实数a的值 2 在 1 的条件下 若f x f x 5 m对一切实数x恒成立 求实数m的取值范围 解法二 1 同解法一 2 当a 2时 f x x 2 设g x f x f x 5 由 x 2 x 3 x 2 x 3 5 当且仅当 3 x 2时等号成立 得 g x 的最小值为5 从而 若f x f x 5 m 即g x m对一切实数x恒成立 则m的取值范围为 5 1 2010 陕西卷