高中数学 343简单线性规划的应用精品课件同步导学 北师大版必修5.ppt

4 3简单线性规划的应用 1 会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题 并能加以解决 2 培养学生应用线性规划的有关知识解决实际问题的意识 1 对利用线性规划解决实际问题的考查是本节的热点 2 本节内容常与实际问题结合问题 3 多以选择题 填空题形式考查 也可以解答题形式考查 1 线性目标函数z ax by a 0 b 0 把直线l0 ax by 0向右平移时 所对应的z随之 把l0向左平移时 所对应的z随之 在平移过程中与可行域相交的点和相交的点 可使目标函数z ax by c取得最值 也就是最优解 增大 减小 首先 最后 12 3 线性规划的应用线性规划也是求值的一种 是求在某种限制范围之下的最大值或最小值的问题 其关键是列出所有 不能有遗漏的部分 如有时变量要求为正实数或自然数 其次是准确找到 如果数量关系多而杂 可以用列表等方法把关系理清 限制条件 目标函数 线性规划的理论和方法经常被应用于两类问题中 一是在人力 物力 资金等资源一定的条件下 如何使用其完成最多的任务 二是给定一项任务 如何合理安排和规划 能用最少的人力 物力 资金等资源来完成这项任务 在生产和生活中 常用于 下料问题 优化安排活动问题 优化运营问题等 利用线性规划的方法解决实际问题的过程可分为假设分配方案 确定目标函数 列出约束条件 画出可行域 确定最优解 确定目标函数最值 回归实际问题 1 有5辆载重6吨的汽车 4辆载重4吨的汽车 设需载重6吨的汽车x辆 载重4吨的汽车y辆 则要运送最多的货物 完成这项运输任务的线性目标函数为 a z 6x 4yb z 5x 4yc z x yd z 4x 5y答案 a 2 配制a b两种药剂都需要甲 乙两种原料 用料要求如表所示 单位 千克 药剂a b至少各配一剂 且药剂a b每剂售价分别为100元 200元 现有原料甲20千克 原料乙25千克 那么可获得的最大销售额为 百元 答案 8 3 有一化肥厂生产甲 乙两种混合肥料 生产1车皮甲种肥料或1车皮乙种肥料需要的主要原料和产生的利润分别为 磷酸盐2t 硝酸盐9t 利润8000元或磷酸盐2t 硝酸盐5t 利润6000元 工厂现有库存磷酸盐20t 硝酸盐70t 应生产甲 乙肥料各多少车皮可获得最大利润 即当直线8000 x 6000y z 0过 5 5 点时 z取得最大值 即生产甲 乙两种肥料各5车皮时可获得最大利润 某企业生产甲 乙两种产品 已知生产每吨甲产品要用a原料3吨 b原料2吨 生产每吨乙产品要用a原料1吨 b原料3吨 销售每吨甲产品可获得利润5万元 每吨乙产品可获得利润3万元 该企业在一个生产周期内消耗a原料不超过13吨 b原料不超过18吨 那么该企业可获得最大利润是多少 本题解答可先设出企业生产甲 乙两产品的吨数 再根据原料限制条件列出约束条件 建立目标函数求解 答 企业可获得的最大利润为27万元 题后感悟 线性规划的应用问题 关键是根据题目正确的列出变量的约束条件与目标函数 准确地画出可行域 确定其最优解 1 某工厂制造甲 乙两种产品 已知制造甲产品1kg要用煤9t 电力4kw 劳动力 按工作日计算 3个 制造乙产品1kg要用煤4t 电力5kw 劳动力10个 又知制成甲产品1kg可获利7万元 制成乙产品1kg可获利12万元 现在此工厂只有煤360t 电力200kw 劳动力300个 在这种条件下应生产甲 乙两种产品各多少千克获得最大经济效益 解析 设此工厂应分别生产甲 乙产品xkg ykg 利润z万元 则依题意可得约束条件 作出可行域 作直线l 7x 12y 0 把直线l向右上方平移至l1位置 直线经过可行域上的点m 且与原点距离最大 此时z 7x 12y取最大值 某公司的仓库a存有货物12吨 仓库b存有货物8吨 现按7吨 8吨和5吨把货物分别调运给甲 乙 丙三个商店 从仓库a运货物到商店甲 乙 丙 每吨货物的运费分别为8元 6元 9元 从仓库b运货物到商店甲 乙 丙 每吨货物的运费分别为3元 4元 5元 问应如何安排调运方案 才能使得从两个仓库运货物到三个商店的总运费最少 先设仓库a运给甲 乙商店的货物吨数 利用题设等量关系表示出其他运物吨数 从而表示出目标函数 总运费 列出线性约束条件 建立线性规划模型 解题过程 将实际问题的一般语言翻译成数学语言可得下表 即运费表 单位 元 设仓库a运给甲 乙商店的货物分别为x吨 y吨 则仓库a运给丙商店的货物为 12 x y 吨 从而仓库b运给甲 乙 丙商店的货物应分别为 7 x 吨 8 y 吨 5 12 x y 吨 即 x y 7 吨 于是总运费为 z 8x 6y 9 12 x y 3 7 x 4 8 y 5 x y 7 x 2y 126 则问题转化为求总运费 答 仓库a运给甲 乙 丙商店的货物分别为0吨 8吨 4吨 仓库b运给甲 乙 丙商店的货物分别为7吨 0吨 1吨 此时 可使得从两个仓库运货物到三个商店的总运费最少 题后感悟 1 线性规划问题中条件往往较多 需注意借助表格或图形梳理题目中的条件 2 在切实认真审题的基础上 将约束条件全部罗列出来 最后要检查能否取等号 未知量是否为正整数或有其他范围的限制 2 某工厂要制造a种电子装置45台 b种电子装置55台 需用薄钢板给每台装置配一个外壳 已知薄钢板的面积有两种规格 甲种薄钢板每张面积2m2 可做a b外壳分别为3个和5个 乙种薄钢板每张面积3m2 可做a b外壳各6个 求两种薄钢板各用多少张 才能使总的用料面积最小 所以zmin 2 5 3 5 25 即甲 乙两种钢板各用5张时 能保证制造a b两种外壳的数量 同时又能使总的用料面积最小 某运输公司接受了向抗洪抢险地方每天至少运送180吨支援物资的任务 该公司有8辆载重为6吨的a型卡车与4辆载重为10吨的b型卡车 有10名驾驶员 每辆卡车每天往返的次数是 a型卡车为4次 b型卡车为3次 每辆卡车每天往返的成本费为 a型卡车为320元 b型卡车为504元 请你为该公司调配车辆 使公司所花成本费最低 解答本题可先转化为线性规划问题 再利用线性规划问题的知识求解 注意车辆数应为整数 作直线l 320 x 504y 0 作一组与l 平行的直线l 320 x 504y t t r 由题设x y是可行域内的整点的横 纵坐标 在可行域内的整点中 点 8 0 使t取最小值 即当l过点 8 0 时 t最小 即zmin 8 320 2560 元 答 每天从公司调a型卡车8辆就能完成任务 且公司所花成本费最低 题后感悟 对于线性规划中的最优整数解的问题 当解方程组得到的解不是整数解时 可用下面的方法求解 1 平移直线法 先在可行域内打网格 再描整点 平移直线l 最先经过或最后经过的整点坐标是整点最优解 2 检验优值法 当可行域内整点个数较少时 也可将整点坐标逐一代入目标函数求值 经比较得最优解 3 有粮食和石油两种物资 可用轮船与飞机两种方式运输 每天每艘轮船和每架飞机的运输效果见下表 现在要在一天内运输2000t粮食和1500t石油需至少安排多少艘轮船和多少架飞机 1 解答线性规划应用题的一般步骤 1 审题 仔细阅读 对关键部分进行 精读 准确理解题意 明确有哪些限制条件 起关键作用的变量有哪些 由于线性规划应用题中的量较多 为了理顺题目中量与量之间的关系 有时可借助表格来理顺 2 转化 设元 写出约束条件和目标函数 从而将实际问题转化为数学上的线性规划问题 3 求解 解这个纯数学的线性规划问题 4 作答 就应用题提出的问题作出回答 2 解答线性规划应用题应注意的问题 1 在线性规划问题的应用中 常常是题中的条件较多 因此认真审题非常重要 2 线性约束条件中有无等号要依据条件加以判断 3 结合实际问题 分析未知数x y等是否有限制 如x y为正整数 非负数等 4 分清线性约束条件和线性目标函数 线性约束条件一般是不等式 而线性目标函数却是一个等式 5 图对解决线性规划问题至关重要 关键步骤基本上都是在图上完成的 所以作图应尽可能地准确 图上操作尽可能规范 但作图中必然会有误差 假如图上的最优点不容易看出时 需将几个有可能是最优点的坐标都求出来 然后逐一检查 以确定最优