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文档简介

2 2 3向量的数乘 学习目标掌握向量数乘运算 理解其几何意义 理解向量共线定理并能熟练应用 课堂互动讲练 课前自主学案 知能优化训练 2 2 3向量的数乘 课前自主学案 1 若非零向量a b互为相反向量 则下列说法中错误的是 a b a b a b b a2 若a与b为非零向量 且 a b a b 则下列说法中正确的是 a b 且a与b方向相同 东北方向 1 向量的数乘 1 实数与向量的积 一般地 实数 和向量a的积是 记作 它的长度和方向规定如下 a 当 0时 a与a方向 当 0时 a与a方向 当 0时 a 实数 与向量a相乘 叫做向量的数乘 一个向量 a a 相同 相反 0 2 数乘运算的运算律设 为任意实数 a b为任意向量 则 a a 第一分配律 a a a 第二分配律 a b a b 2 向量共线定理一般地 对于两个向量a a 0 b 1 如果有一个实数 使 a 0 那么b与a是共线向量 2 如果b与a a 0 是共线向量 那么 实数 使 b a 有且只有一个 b a 1 在共线向量定理中 为什么要强调a 0 提示 1 定理本身包含了正 反两个方面 若存在一个实数 使b a a 0 则a与b共线 反之 若a与b共线 a 0 则必存在一个实数 使b a 2 定理中 之所以限定a 0是由于若a b 0 虽然 仍然存在 但是 不惟一 定理的正 反两个方面不成立 2 若向量b与非零向量a共线 如何确定实数 使得b a 课堂互动讲练 向量的数乘与向量的加法 减法统称为向量的线性运算 又称为向量的初等运算 向量的线性运算的结果是一个向量 运算法则与多项式运算类似 思路点拨 利用向量的数乘运算律进行化简 解 1 原式 2a 3b c 3a 2b c 2c 6b 2 3 a 3 2 6 b 1 1 2 c a b 主要考查向量共线定理的应用 向量共线定理的主要作用是 证明两向量共线 证明三点共线 名师点评 1 本题充分利用了向量共线定理 即b与a a 0 共线 b a a 0 r 因此用它既可以证明点共线或线共线问题 也可以根据共线求参数的值 2 向量共线的判断 证明 是把两向量用共同的已知向量来表示 进而互相表示 从而判断共线 互动探究1在本例中 若将非零不共线向量e1 e2改为共线向量e1 e2 在 1 题中其他条件不变 试判断a b d三点是否共线 名师点评 用已知向量来表示另外一些向量是向量解题的基础 除利用向量的线性运算外 还应充分利用平面几何的一些定理 性质 如三角形的中位线 相似三角形对应边成比例等 1 建立平面几何与向量的联系 用向量表示问题中涉及的几何元素 将平面几何问题转化为向量问题 2 通过向量运算 研究几何
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