高考数学一轮复习 数列的综合应用专题训练(1).doc

数列的综合应用一、基础知识要记牢数列求和的关键是分析其通项，数列的基本求和方法有公式法、错位相减法、裂(拆)项相消法、分组法、倒序相加法和并项法等二、经典例题领悟好例1已知函数f(x)x2bx为偶函数，数列an满足an12f(an1)1，且a13，an1.(1)设bnlog2(an1)，求证：数列bn1为等比数列；(2)设cnnbn，求数列cn的前n项和sn.解(1)函数f(x)x2bx为偶函数，b0，f(x)x2，an12f(an1)12(an1)21，an112(an1)2.又a13，an1，bnlog2(an1)，b1log2(a11)1，2，数列bn1是首项为2，公比为2的等比数列(2)由(1)得，bn12n，bn2n1，cnnbnn2nn，设an12222323n2n，则2an122223324n2n1，an222232nn2n1n2n12n1n2n12，an(n1)2n12.设bn1234n，则bn，snanbn(n1)2n12.(1)利用错位相减法求和时，应注意：在写出“sn”与“qsn”的表达式时应注意两式“错项对齐”；当等比数列的公比为字母时，应对字母是否为1进行讨论.(2)利用裂项相消法求和时，应注意抵消后并不一定只剩第一项和最后一项，也可能前面剩两项，后面也剩两项.三、预测押题不能少1设an是公比大于1的等比数列，sn为数列an的前n项和已知s37，且3a2是a13和a34的等差中项(1)求数列an的通项公式；(2)设bn，数列bn的前n项和为tn，求证：tn1，q2.a11.故数列an的通项公式为a22n1.(2)证明：bn，tnb7，即2013年7月甲企业的产值比乙企业的产值大(2)设一共用了n天，则n天的平均耗资为p(n)元，则p(n).当且仅当，即n800时，p(n)有最小值，故日平均耗资最小时使用了800天数列中的综合问题，大多与函数、方程、不等式及解析几何交汇，考查利用函数与方程的思想及分类讨论思想方法解决数列中的问题及用解决不等式的方法研究数列的性质，数列与解析几何交汇，主要涉及点列问题数列与不等式的交汇一、经典例题领悟好例1(2013湖北高考)已知等比数列an满足：|a2a3|10，a1a2a3125.(1)求数列an的通项公式；(2)是否存在正整数m，使得1？若存在，求m的最小值；若不存在，说明理由(1)条件求出a1，q的值写出an的通项公式(2)数列an通项公式数列的类型求其和数列和范围结论(1)设等比数列an的公比为q，则由已知可得解得或故an3n1，或an5(1)n1.(2)若an3n1，则n1，故是首项为，公比为的等比数列，从而1.若an5(1)n1，则(1)n1，故是首项为，公比为1的等比数列，从而故1.综上，对任何正整数m，总有kan2对一切nn*恒成立，求实数k的取值范围解：(1)设等比数列an的公比为q，an1an92n1，nn*，a2a19，a3a218，q2，2a1a19，a13.an32n1，nn*，经验证，满足题意(2)由(1)知sn3(2n1)，3(2n1)k32n12，k2.令f(n)2，则f(n)随n的增大而增大，f(n)minf(1)2.k0)及两点a1(x1,0)和a2(x2,0)，其中x2x10.过a1，a2分别作x轴的垂线，交曲线c于b1，b2两点，直线b1b2与x轴交于点a3(x3,0)，那么()ax1，x2成等差数列bx1，x2成等比数列cx1，x3，x2成等差数列 dx1，x3，x2成等比数列解析：选a由题意，b1，b2两点的坐标分别为，所以直线b1b2的方程为y(xx1)，令y0，得xx1x2，x3x1x2，因此，x1，x2成等差数列5(2013江西宜春模拟)如图所示，当n2时，将若干点摆成三角形图案，每条边(包括两个端点)有n个点，若第n个图案中总的点数记为an，则a1a2a3a10()a126 b135c136 d140解析：选c由已知图形可知，当n2时，an3(n1)，a1a2a3a10136271136.6(2013辽宁省五校联考)设等差数列an的前n项和为sn，已知(a41)32 013(a41)1，(a2 0101)32 013(a2 0101)1，则下列结论中正确的是()as2 0132 013，a2 010a4cs2 0132 012，a2 010a4ds2 0132 012，a2 010a4解析：选a设f(x)x32 013x，显然f(x)为奇函数和增函数，由已知得f(a41)f(a2 0101)，所以f(a41)f(a2 0101)，a41a2 0101，a4a2 0102，s2 0132 013；显然11，即f(a41)f(a2 0101)，又f(x)为增函数，故a41a2 0101，即a4a2 010.7函数yx2(x0)的图像在点(ak，a)处的切线与x轴的交点的横坐标为ak1，其中kn*，若a116，则a1a3a5_.解析：y2x，ky| xak2ak，故切线方程为ya2ak(xak)，令y0得xak，即ak1ak.an是以16为首项，为公比的等比数列，即an16n1.a1a3a5164121.答案：218(2013江西高考)某住宅小区计划植树不少于100棵，若第一天植2棵，以后每天植树的棵数是前一天的2倍，则需要的最少天数n(nn*)等于_解析：设每天植树的棵数组成的数列为an，由题意可知它是等比数列，且首项为2，公比为2，所以由题意可得100，即2n51，而2532,2664，nn*，所以n6.答案：69对于数列an，定义数列an1an为数列an的“差数列”，若a12，an的“差数列”的通项为2n，则数列an的前n项和sn_.解析：an1an2n，当n2时，an(anan1)(an1an2)(a2a1)a12n12n2222222n.当n1时，a12也适合上式，an2n(nn*)sn2n12.答案：2n1210(2013惠州市调研)已知向量p(an,2n)，向量q(2n1，an1)，nn*，向量p与q垂直，且a11.(1)求数列an的通项公式；(2)若数列bn满足bnlog2an1，求数列anbn的前n项和sn.解：(1)向量p与q垂直，2nan12n1an0，即2nan12n1an，2，an是以1为首项，2为公比的等比数列，an2n1.(2)bnlog2an1，bnn，anbnn2n1，sn122322423n2n1，2sn12222323424n2n，得，sn122223242n1n2nn2n(1n)2n1，sn1(n1)2n.11(2013南昌市模拟)设正项数列an的前n项和为sn，若an和都是等差数列，且公差相等(1)求an的通项公式；(2)若a1，a2，a5恰为等比数列bn的前三项，记数列cn，数列cn的前n项和为tn.求证：对任意nn*，都有tn2.解：(1)设an的公差为d，则