高考数学一轮复习 第二章 第13讲 导数与函数的综合问题资料（艺术班）.doc

第二章函数、导数及其应用第13讲 导数与函数的综合问题考点一利用导数研究生活中的优化问题典例(2013重庆高考)某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池(不计厚度)设该蓄水池的底面半径为r米，高为h米，体积为v立方米假设建造成本仅与表面积有关，侧面的建造成本为100元/平方米，底面的建造成本为160元/平方米，该蓄水池的总建造成本为12 000元(为圆周率)(1)将v表示成r的函数v(r)，并求该函数的定义域；(2)讨论函数v(r)的单调性，并确定r和h为何值时该蓄水池的体积最大解(1)因为蓄水池侧面的总成本为1002rh200rh(元)，底面的总成本为160r2元，所以蓄水池的总成本为(200rh160r2)元又根据题意200rh160r212 000，所以h(3004r2)，从而v(r)r2h(300r4r3)因为r0，又由h0可得r0，故v(r)在(0,5)上为增函数；当r(5,5)时，v(r)0，故v(r)在(5,5)上为减函数由此可知，v(r)在r5处取得最大值，此时h8.即当r5，h8时，该蓄水池的体积最大类题通法利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤(1)分析实际问题中各量之间的关系，列出实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系式yf(x)；(2)求函数的导数f(x)，解方程f(x)0；(3)比较函数在区间端点和f(x)0的点的函数值的大小，最大(小)者为最大(小)值；(4)回归实际问题作答针对训练某城市在发展过程中，交通状况逐渐受到有关部门的关注，据有关统计数据显示，从上午6点到中午12点，车辆通过该市某一路段的用时y(分钟)与车辆进入该路段的时刻t之间关系可近似地用如下函数给出：y求从上午6点到中午12点，通过该路段用时最多的时刻解：当6t9时，yt2t36(t12)(t8)令y0，得t12(舍去)或t8.当6t0，当8t9时，y0，故t8时，y有最大值，ymax18.75.当9t10时，yt是增函数，故t10时，ymax16.当100)，所以h(x)，由h(x)0，且x0，得0xe.由h(x)0，得xe，所以函数h(x)的单调增区间是(0，e，单调减区间是e，)，所以当xe时，h(x)取得最大值.(2)因为xf(x)2x2ax12对一切x(0，)恒成立，即xln xx22x2ax12对一切x(0，)恒成立，即aln xx对一切x(0，)恒成立，设(x)ln xx，因为(x)，故(x)在(0,3上递减，在3，)上递增，(x)min(3)7ln 3，所以a7ln 3. 类题通法利用导数解决参数问题主要涉及以下方面(1)已知不等式在某一区间上恒成立，求参数的取值范围：一般先分离参数，再转化为求函数在给定区间上的最值问题求解(2)已知函数的单调性求参数的取值范围：转化为f(x)0(或f(x)0)恒成立的问题(3)已知函数的零点个数求参数的取值范围：利用函数的单调性、极值画出函数的大致图像，数形结合求解针对训练设函数f(x)x2exxex.(1)求f(x)的单调区间；(2)若当x2,2时，不等式f(x)m恒成立，求实数m的取值范围解：(1)函数f(x)的定义域为(，)，f(x)xex(exxex)x(1ex)，若x0，则f(x)0；若x0，所以f(x)0，则1ex0，所以f(x)0.f(x)在(，)上为减函数，即f(x)的单调减区间为(，)(2)由(1)知，f(x)在2,2上单调递减故f(x)minf(2)2e2，mm恒成立故m的取值范围为(，2e2)考点三利用导数证明不等式问题典例(2013河南省三市调研)已知函数f(x)axex(a0)(1)若a，求函数f(x)的单调区间；(2)当1a1e时，求证：f(x)x.解(1)当a时，f(x)xex.f(x)ex，令f(x)0，得xln 2.当x0；当xln 2时，f(x)0，f(x)x成立()当1a1e时，f(x)ex(a1)exeln(a1)，当xln(a1)时，f(x)ln(a1)时，f(x)0，f(x)在(，ln (a1)上单调递减，在(ln(a1)，)上单调递增f(x)f(ln(a1)eln(a1)(a1)ln(a1)(a1)1ln(a1)，10,1ln(a1)1ln(1e)10，f(x)0，即f(x)x成立综上，当1a1e时，有f(x)x.法二：令g(a)xf(x)xaxex，只要证明g(a)0在1a1e时恒成立即可g(1)xxexex0，g(1e)x(1e)xexexex，设h(x)exex，则h(x)exe，当x1时，h(x)1时，h(x)0，h(x)在(，1)上单调递减，在(1，)上单调递增，h(x)h(1)e1e10，即g(1e)0.由知，g(a)0在1a1e时恒成立当1a1e时，有f(x)x. 类题通法利用导数方法证明不等式f(x)g(x)在区间d上恒成立的基本方法是构造函数h(x)f(x)g(x)，然后根据函数的单调性，或者函数的最值证明函数h(x)0，其中一个重要技巧就是找到函数h(x)在什么地方可以等于零，这往往就是解决问题的一个突破口针对训练已知f(x)xln x.(1)求g(x)(kr)的单调区间；(2)证明：当x1时，2xef(x)恒成立解：(1)g(x)ln x，令g(x)0得xk.x0，当k0时，g(x)0.函数g(x)的增区间为(0，)，无减区间；当k0时g(x)0得xk；g(x)0得0x3 ca3 da3解析：选af(x)3x2a，又f(x)在(1,1)上单调递减；f(x)0在(1,1)上恒成立，即3x2a0在(1,1)上恒成立a3x2在(1,1)上恒成立，又03x23，a3.经验证当a3时，f(x)在(1,1)上单调递减2从边长为10 cm16 cm的矩形纸板的四角截去四个相同的小正方形，作成一个无盖的盒子，则盒子容积的最大值为()a12 cm3 b72 cm3 c144 cm3 d160 cm3解析：选c设盒子容积为y cm3，盒子的高为x cm.则y(102x)(162x)x4x352x2160x(0x5)，y12x2104x160.令y0，得x2或(舍去)，ymax6122144 (cm3)3直线ya与函数f(x)x33x的图像有相异的三个公共点，则a的取值范围是_解析：令f(x)3x230，得x1，可得极大值为f(1)2，极小值为f(1)2，如图，观察得2a2时恰有三个不同的公共点答案：(2,2)4(2013北京高考)设l为曲线c：y在点(1,0)处的切线(1)求l的方程；(2)证明：除切点(1,0)之外，曲线c在直线l的下方解：(1)设f(x)，则f(x).所以f(1)1，即l的斜率为1.又l过点(1,0)，所以l的方程为yx1.(2)证明：令g(x)x1f(x)，则除切点之外，曲线c在直线l的下方等价于g(x)0(x0，x1)g(x)满足g(1)0，且g(x)1f(x).当0x1时，x210，ln x0，所以g(x)0，故g(x)单调递减；当x1时，x210，ln x0，所以g(x)0，故g(x)单调递增所以，g(x)g(1)0(x0，x1)所以除切点之外，曲线c在直线l的下方5(2014宜昌模拟)已知yf(x)是奇函数，当x(0,2)时，f(x)ln xax，当x(2,0)时，f(x)的最小值为1，则a的值等于()a. b. c. d1解析：选d由题意知，当x(0,2)时，f(x)的最大值为1.令f(x)a0，得x，当0x0；当x时，f(x)0.f(x)maxfln a11，解得a1.6函数f(x)x33x1，若对于区间3,2上的任意x1，x2，都有|f(x1)f(x2)|t，则实数t的最小值是()a20 b18 c3 d0解析：选a因为f(x)3x233(x1)(x1)，令f(x)0，得x1，所以1，1为函数的极值点又f(3)19，f(1)1，f(1)3，f(2)1，所以在区间3,2上f(x)max1，f(x)min19.又由题设知在区间3,2上f(x)maxf(x)mint，从而t20，所以t的最小值是20.7f(x)是定义在(0，)上的非负可导函数，且满足xf(x)f(x)0，对任意正数a，b，若ab，则必有()aaf(b)bf(a) bbf(a)af(b) caf(a)f(b) dbf(b)f(a)解析：选axf(x)f(x)，f(x)0，0.则函数在(0，)上是单调递减的，由于0ab，则.即af(b)bf(a)8(2013山西诊断)设d是函数yf(x)定义域内的一个区间，若存在x0d，使f(x0)x0，则称x0是f(x)的一个“次不动点”，也称f(x)在区间d上存在“次不动点”，若函数f(x)ax23xa在区间1,4上存在“次不动点”，则实数a的取值范围是()a(，0) b. c. d.解析：选d设g(x)f(x)x，依题意，存在x1,4，使g(x)f(x)xax22xa0.当x1时，g(1)0；当x1时，由ax22xa0得a.记h(x)(10；当x(2,4)时，h(x)0)，为使耗电量最小，则速度应定为_解析：由yx239x400，得x1或x40，由于0x40时，y40时，y0.所以当x40时，y有最小值答案：4010函数f(x)ax3x恰有三个单调区间，则a的取值范围是_解析：f(x)ax3x恰有三个单调区间，即函数f(x)恰有两个极值点，即f(x)0有两个不等实根f(x)ax3x，f(x)3ax21.要使f(x)0有两个不等实根，则a0，试判断f(x)在定义域内的单调性；(2)若f(x)0，f(x)0，故f(x)在(0，)上是单调递增函数(2)f(x)x2，ln x0，axln xx3.令g(x)xln xx3，h(x)g(x)1ln x3x2，h(x)6x.x(1，)时，h(x)0，h(x)在(1，)上是减函数h(x)h(1)20，即g(x)0，g(x)在(1，)上也是减函数g(x)g(1)1，当a1时，f(x)x2在(1，)上恒成立12(2014泰安模拟)某种产品每件成本为6元，每件售价为x元(6x11)，年销售为u万件，若已知u与2成正比，且售价为10元时，年销量为28万件(1)求年销售利润y关于售价x的函数关系式；(2)求售价为多少时，年利润最大，并求出最大年利润解：(1)设uk2，售价为10元时，年销量为28万件，28k2，解得k2.u222x221x18.y(2x221x18)(x6)2x333x2108x108(6x0；当x(9,11)时，y0.函数y2x333x2108x108在(6,9)上是递增的，在(9,11)上是递减的当x9时，y取最大值，且ymax135，售价为9元时，年利润最大，最大年利润为135万元13(2013浙江十校联考)已知函数f(x)ln xax(ar)(1)求f(x)的单调区间；(2)设g(x)x24x2，若对任意x1(0，)，均存在x20,