（课标通用）高考数学一轮复习 课时跟踪检测45 理.doc

课时跟踪检测(四十五) 高考基础题型得分练12017河北秦皇岛模拟已知正四棱柱abcda1b1c1d1中，aa12ab，e为aa1的中点，则异面直线be与cd1所成角的余弦值为()a. b. c. d.答案：c解析：以d为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图，设aa12ab2，则d(0,0,0)，c(0,1,0)，b(1,1,0)，e(1,0,1)，d1(0,0,2)所以(0，1,1)，(0，1,2)，所以cos，.2正方体abcda1b1c1d1的棱长为a，点m在ac1上且1，n为b1b的中点，则|()a.a b.a c.a d.a答案：a解析：以d为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系dxyz，则a(a,0,0)，c1(0，a，a)，n.设m(x，y，z)，点m在ac1上且，(xa，y，z)(x，ay，az)，x，y，z，则m，| a.3在正方体abcda1b1c1d1中，点e为bb1的中点，则平面a1ed与平面abcd所成的锐二面角的余弦值为()a. b. c. d.答案：b解析：以a为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系axyz，设棱长为1，则a1(0,0,1)，e，d(0,1,0)，(0,1，1)，.设平面a1ed的一个法向量为n1(1，y，z)，所以有即解得n1(1,2,2)平面abcd的一个法向量为n2(0,0,1)，cosn1，n2.故所成的锐二面角的余弦值为.4在正四棱锥sabcd中，o为顶点在底面上的射影，p为侧棱sd的中点，且 sood，则直线bc与平面pac所成的角是()a30 b45 c60 d90答案：a解析：如图，以o为坐标原点建立空间直角坐标系oxyz.设odsooaoboca，则a(a,0,0)，b(0，a,0)，c(a,0,0)，p.则(2a,0,0)，(a，a,0)，设平面pac的一个法向量为n，设n(x，y，z)，则解得可取n(0,1,1)，则cos，n，n60，直线bc与平面pac所成的角是906030.5设正方体abcda1b1c1d1的棱长为2，则点d1到平面a1bd的距离是()a. b. c. d.答案：d解析：如图，建立空间直角坐标系则d1(0,0,2)，a1(2,0,2)，b(2,2,0)，(2,0,0)，(2,2,0)设平面a1bd的法向量为n(x，y，z)，则令z1，得n(1,1,1)d1到平面a1bd的距离d.62017河南郑州模拟在长方体abcda1b1c1d1中，ab2，bcaa11，则d1c1与平面a1bc1所成角的正弦值为_答案：解析：以d为原点，da为x轴，dc为y轴，dd1为z轴，建立空间直角坐标系，设n(x，y，z)为平面a1bc1的法向量则即令z2，则y1，x2，于是n(2,1,2)，(0,2,0)，设所求线面角为，则sin |cosn，|.7正abc与正bcd所在平面垂直，则二面角abdc的正弦值为_答案：解析：取bc中点o，连接ao，do，建立如图所示坐标系，设bc1，则a，b，d.，.设平面abd的法向量为n(x0，y0，z0)，则n0，且n0，z00，且x00，因此取x01，得平面abd的一个法向量n(1，1)由于为平面bcd的一个法向量，cosn，sinn，.8如图所示，在三棱柱abca1b1c1中，aa1底面abc，abbcaa1，abc90，点e，f分别是棱ab，bb1的中点，则直线ef和bc1所成的角是_答案：60解析：以bc为x轴，ba为y轴，bb1为z轴，建立空间直角坐标系设abbcaa12，则c1(2,0,2)，e(0,1,0)，f(0,0,1)，则(0，1,1)，(2,0,2)，2，cos，ef和bc1所成的角为60.9如图，在四棱锥 pabcd中，pc底面 abcd，四边形abcd是直角梯形，abad，abcd，ab2ad2cd2，e是pb的中点(1)求证：平面eac平面pbc；(2)若二面角 pace的余弦值为，求直线pa与平面eac所成角的正弦值(1)证明：pc平面abcd，ac平面abcd，acpc.ab2，adcd1，adc90，acbc，ac2bc2ab2，acbc.又bcpcc，ac平面pbc.ac平面eac，平面eac平面pbc.(2)解：如图，以c为原点，分别为x轴、y轴、z轴正方向，建立空间直角坐标系，则c(0,0,0)，a(1,1,0)，b(1，1,0)设p(0,0，a)(a0)，则e，(1,1,0)，(0,0，a)，取m(1，1,0)，则mm0，m为平面pac的一个法向量设n(x，y，z)为平面eac的法向量，则nn0，即取xa，ya，z2，则n(a，a，2)依题意，|cosm，n|，则a1.于是n(1，1，2)，(1,1，1)设直线pa与平面eac所成角为，则sin |cos，n|，即直线pa与平面eac所成角的正弦值为.10如图，在四棱锥 pabcd中，底面abcd是菱形，adc60，侧面pdc是正三角形，平面pdc平面abcd，cd2，m为pb的中点(1)求证：pa平面cdm；(2)求二面角 dmcb的余弦值(1)证明：证法一：取pa的中点n，连接mn，dn，又m为pb的中点，所以mnab，又菱形abcd中，abcd，所以mncd，所以c，d，m，n四点共面取dc的中点o，连接po.因为侧面pdc是正三角形，平面pdc平面abcd，平面pdc平面abcddc，又因为podc，所以po底面abcd.因为底面abcd为菱形且adc60，dc2，do1，故oadc.因为poaoo，所以dc平面poa，所以dcpa.在pad中，pdad2，n为pa的中点，所以dnpa.又dndcd，dn平面cdnm，dc平面cdnm，所以pa平面cdnm，即pa平面cdm.证法二：取dc的中点o，连接po，oa，因为侧面pdc是正三角形，平面pdc平面abcd.所以po底面abcd，因为底面abcd为菱形且adc60，dc2，do1，则oadc.以o原点，分别以oa，oc，op所在直线为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系oxyz，则a(，0,0)，p(0,0，)，b(，2,0)，c(0,1,0)，d(0，1,0)，所以m，所以，(，0，)，(0,2,0)，所以02()0，002()00，所以，所以pa平面dmc.(2)解：，(，1,0)，设平面bmc的法向量为n(x，y，z)，由n0，得xz0，由n0，得xy0.取x1，则y，z1，所以一个法向量n(1，1)由(1)知，平面cdm的一个法向量可取(，0，)所以cosn，.观察可知二面角 dmcb为钝角，所以所求二面角的余弦值是. 冲刺名校能力提升练1如图，pdc所在的平面与长方形abcd所在的平面垂直，pdpc4，ab6，bc3.点e是cd边的中点，点f，g分别在线段ab，bc上，且af2fb，cg2gb.(1)求证：pefg；(2)求二面角padc的正切值；(3)求直线pa与直线fg所成角的余弦值解：在pcd中，e为cd的中点，且pcpd，pecd.又平面pcd平面abcd，且平面pcd平面abcdcd，pe平面pcd，pe平面abcd，取ab的中点h，连接eh，四边形abcd是长方形，则ehcd，如图所示，以e为原点，eh，ec，ep所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，pdpc4，ab6，bc3，af2fb，cg2gb，e(0,0,0)，p(0,0，)，f(3,1,0)，g(2,3,0)，a(3，3,0)，d(0，3,0)，c(0,3,0)(1)证明：(0,0，)，(1,2,0)，且(0,0，)(1,2,0)0，即epfg.(2)解：pe平面abcd，平面abcd的法向量为(0,0，)设平面adp的一个法向量为n(x1，y1，z1)，(3,3，)，(0,3，)，由于即令z13，则x10，y1，n(0，3)由图可知二面角padc是锐角，设为，则cos ，sin ，tan .(3)解：(3,3，)，(1,2,0)，设直线pa与直线fg所成角为，则cos ，直线pa与fg所成角的余弦值为.22017湖北黄冈模拟在等腰梯形abcd中，adbc，adbc，abc60，n是bc的中点，将梯形abcd绕ab旋转 90，得到梯形abcd(如图)(1)求证：ac平面abc；(2)求证：cn平面add；(3)求二面角acnc的余弦值(1)证明：adbc，n是bc的中点，adnc，又adbc，四边形ancd是平行四边形，andc.又abc60，abbnad，四边形ancd是菱形，acbdcb30，bac90，即acab.又平面cba平面abc，平面cba平面abcab，ac平面abc.(2)证明：adbc，adbc，adada，bcbcb，平面add平面bcc，又cn平面bcc，cn平面add.(3)解：ac平面abc，ac平面abc，如图建立空间直角坐标系，设ab1，