高考数学 考前三个月 练透高考必会题型 专题3 第15练 函数的极值与最值 文 新人教版.doc

第15练函数的极值与最值内容精要本部分内容为导数在研究函数中的一个重要应用，在高考中也是重点考查的内容，多在综合题中的某一问中考查，要求熟练掌握函数极值与极值点的概念及判断方法，极值和最值的关系题型一函数极值与极值点的判断、求解问题例1(2013浙江)已知e为自然对数的底数，设函数f(x)(ex1)(x1)k(k1,2)，则()a当k1时，f(x)在x1处取到极小值b当k1时，f(x)在x1处取到极大值c当k2时，f(x)在x1处取到极小值d当k2时，f(x)在x1处取到极大值破题切入点对函数f(x)求导之后，将k1,2分别代入讨论答案c解析当k1时，f(x)exx1，f(1)0.x1不是f(x)的极值点当k2时，f(x)(x1)(xexex2)显然f(1)0，且x在1的左边附近f(x)0，f(x)在x1处取到极小值故选c.题型二根据函数的极值来研究函数图象问题例2已知函数yx33xc的图象与x轴恰有两个公共点，则c等于()a2或2 b9或3c1或1 d3或1破题切入点结合函数的极值点，作出函数大致图象来解决答案a解析y3x23，当y0时，x1.则当x变化时，y，y的变化情况如下表：x(，1)1(1,1)1(1，)yyc2c2当函数图象与x轴恰有两个公共点时，必有c20或c20，c2或c2.题型三函数的极值问题例3已知函数f(x)(m，nr)在x1处取得极值2.(1)求函数f(x)的解析式；(2)设函数g(x)ln x，若对任意的x1r，总存在x21，e，使得g(x2)f(x1)，求实数a的取值范围破题切入点(1)对函数进行求导，结合题中条件列出方程组，解出参数的值(需验证)，即可得到函数的解析式(2)利用导数讨论函数g(x)的最小值，通过求解不等式得出实数a的取值范围解(1)f(x)，由于f(x)在x1处取得极值2，故f(1)0，f(1)2，即解得m4，n1，经检验，此时f(x)在x1处取得极值故f(x).(2)由(1)知f(x)的定义域为r，且f(x)f(x)故f(x)为奇函数，f(0)0.当x0时，f(x)0，f(x)2，当且仅当x1时取“”当x0时，f(x)0，f(x)2，当且仅当x1时取“”故f(x)的值域为2,2，从而f(x1).依题意有g(x)min，x1，e，g(x)，当a1时，g(x)0，函数g(x)在1，e上单调递增，其最小值为g(1)a1，符合题意；当1ae时，函数g(x)在1，a上单调递减，在(a，e上单调递增，所以函数g(x)的最小值为g(a)ln a1，由ln a1，得0a，从而知当1，不符合题意综合所述，a的取值范围为(，题型四函数的最值问题例4已知函数f(x)x2ln x.(1)求函数f(x)在区间1，e上的最大值、最小值；(2)求证：在区间(1，)上，函数f(x)的图象在函数g(x)x3的图象的下方破题切入点(1)f(x)在闭区间1，e上的最大值、最小值要么在端点处取得，要么在极值点处取得所以首先要研究f(x)在1，e上的单调性(2)f(x)的图象在函数g(x)x3的图象的下方，即g(x)f(x)在(1，)上恒大于0.(1)解当x1，e时，f(x)x0，所以f(x)在区间1，e上为增函数所以当x1时，f(x)取得最小值；当xe时，f(x)取得最大值e21.(2)证明设h(x)g(x)f(x)x3x2ln x，x(1，)，则h(x)2x2x.当x(1，)时，h(x)0，h(x)在区间(1，)上为增函数，所以h(x)h(1)0.所以对于x(1，)，g(x)f(x)成立，即f(x)的图象在g(x)的图象的下方总结提高(1)准确把握函数极值与最值的概念，极值是函数的局部性质，在所给的区间上极大值和极小值不一定唯一，且极大值不一定大于极小值，而最值是函数的整体性质，在所给的区间上最大值一定大于最小值，且最大值和最小值都是唯一的(2)函数在x0处取得极值，有f(x0)0，而f(x0)0不一定有f(x)在x0处取得极值(3)两者之间的联系，求最值时先要求出极值然后和区间端点函数值相比较而得出最大值和最小值1(2014课标全国)函数f(x)在xx0处导数存在若p：f(x0)0；q：xx0是f(x)的极值点，则()ap是q的充分必要条件bp是q的充分条件，但不是q的必要条件cp是q的必要条件，但不是q的充分条件dp既不是q的充分条件，也不是q的必要条件答案c解析当f(x0)0时，xx0不一定是f(x)的极值点，比如，yx3在x0时，f(0)0，但在x0的左右两侧f(x)的符号相同，因而x0不是yx3的极值点由极值的定义知，xx0是f(x)的极值点必有f(x0)0.综上知，p是q的必要条件，但不是充分条件2(2013辽宁)设函数f(x)满足x2f(x)2xf(x)，f(2)，则x0时，f(x)()a有极大值，无极小值b有极小值，无极大值c既有极大值又有极小值d既无极大值也无极小值答案d解析由x2f(x)2xf(x)，得f(x)，令g(x)ex2x2f(x)，x0，则g(x)ex2x2f(x)4xf(x)ex2.令g(x)0，得x2.当x2时，g(x)0；当0x2时，g(x)0，g(x)在x2时有最小值g(2)e28f(2)0，从而当x0时，f(x)0，则f(x)在(0，)上是增函数，函数f(x)无极大值，也无极小值3(2014江西)在同一直角坐标系中，函数yax2x与ya2x32ax2xa(ar)的图象不可能的是()答案b解析分两种情况讨论当a0时，函数为yx与yx，图象为d，故d有可能当a0时，函数yax2x的对称轴为x，对函数ya2x32ax2xa，求导得y3a2x24ax1(3ax1)(ax1)，令y0，则x1，x2.所以对称轴x介于两个极值点x1，x2之间，a、c满足，b不满足，所以b是不可能的故选b.4设变量a，b满足约束条件z|a3b|的最大值为m，则函数f(x)x3x22x2的极小值等于()a b c2 d.答案a解析据线性规划可得(a3b)min8，(a3b)max2，故2|a3b|8，即m8，此时f(x)x2x2(x2)(x1)，可得当x1时f(x)0，当1x2时f(x)0，故当x2时函数取得极小值，即f(x)极小值f(2).5已知函数f(x)x32bx2cx1有两个极值点x1，x2，且x12，1，x21,2，则f(1)的取值范围是()a，3 b，6c3,12 d，12答案c解析方法一由于f(x)3x24bxc，据题意方程3x24bxc0有两个根x1，x2，且x12，1，x21,2，令g(x)3x24bxc，结合二次函数图象可得只需此即为关于点(b，c)的线性约束条件，作出其对应平面区域，f(1)2bc，问题转化为在上述线性约束条件下确定目标函数f(1)2bc的最值问题，由线性规划易知3f(1)12，故选c.方法二方程3x24bxc0有两个根x1，x2，且x12，1，x21,2的条件也可以通过二分法处理，即只需g(2)g(1)0，g(2)g(1)0即可，利用同样的方法也可解答6设函数yf(x)在(0，)内有定义，对于给定的正数k，定义函数fk(x)若函数f(x)，且恒有fk(x)f(x)，则()ak的最大值为 bk的最小值为ck的最大值为2 dk的最小值为2答案b解析由于f(x)，所以f(x)，令g(x)ln x1，则g(x)x20，此时f(x)0，当x(1，)时，g(x)0，此时f(x)0，所以f(x)在(0,1)上单调递增，f(x)在(1，)上单调递减，故f(x)maxf(1)，又函数f(x)，且恒有fk(x)f(x)，结合新定义可知，k的最小值为，故选b.7函数f(x)x33axa在(0,1)内有最小值，则a的取值范围是_答案0a1解析y3x23a，令y0，可得ax2.又x(0,1)，0a2或a0，解得a2或a1.9若函数f(x)x24x3ln x在t，t1上不单调，则t的取值范围是_答案0t1或2t3解析对f(x)求导，得f(x)x4.由f(x)0得函数f(x)的两个极值点为1,3，则只要这两个极值点有一个在区间(t，t1)内，函数f(x)在区间t，t1上就不单调，所以t1t1或t3t1，解得0t1或2t0时，(xk)f(x)x10，求k的最大值解(1)f(x)的定义域为(，)，f(x)exa.若a0，则f(x)0，所以f(x)在(，)上单调递增若a0，则当x(，ln a)时，f(x)0.所以，f(x)在(，ln a)上单调递减，在(ln a，)上单调递增(2)由于a1时，(xk)f(x)x1(xk)(ex1)x1.故当x0时，(xk)f(x)x10等价于k0)令g(x)x，则g(x)1.由(1)知，函数h(x)exx2在(0，)上单调递增，又h(1)e30.所以h(x)在(0，)上存在唯一零点故g(x)在(0，)上存在唯一零点设此零点为，则(1,2)当x(0，)时，g(x)0，所以g(x)在(0，)上的最小值为g()又由g()0，得e2，所以g()1(2,3)由于式等价于k0)，xr.(1)求f(x)的单调区间和极值；(2)若对于任意的x1(2，)，都存在x2(1，)，使得f(x1)f(x2)1，求a的取值范围解(1)由已知，有f(x)2x2ax2(a0)令f(x)0，解得x0或x.当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x(，0)0(0，)(，)f(x)00f(x)0所以f(x)的单调递增区间是(0，)；单调递减区间是(，0)，(，)当x0时，f(x)有极小值，且极小值f(0)0；当x时，f(x)有极大值，且极大值f().(2)由f(0)f()0及(1)知，当x(0，)时，f(x)0；当x(，)时，f(x)2，即0a时，由f()0可知，0a，而0b，所以a不是b的子集当12，即a时，有f(2)0，且此时f(x)在(2，)上单调递减，故a(，f(2)，因而a(，0)；由f(1)0，有f(x)在(1，)上的取值范围包含(，0)，则(，0)b.所以ab.当时，有f(1)0，所以当x(0,2)时，f(x)0，函数yf(x)单调递增所以f(x)的单调递减区间为(0,2)，单调递增区间为(2，)(2)由(1)知，k0时，函数f(x)在(0,2)内单调递减，故f(x)