1112高中数学 3.2.1 古典概型同步学案 新人教A版必修3.ppt

3 2古典概型3 2 1古典概型 自学导引1 了解基本事件的特点 3 理解古典概型的定义 4 会用古典概型的概率公式解决一些实际问题 课前热身 1 基本事件的特点 1 任何两个基本事件是 2 任何事件 除不可能事件 都可以表示成 2 古典概型试验有两个共同的特征 1 在一次试验中 可能出现的结果只有有限个 即只有 不同的基本事件 2 每个基本事件发生的可能性是 的 互斥的 基本事件的和 有限个 相等 3 古典概型的概率公式如果一次试验中可能出现的结果有n个 而且所有结果出现的可能性都相等 那么每一个基本事件的概率都是 如果某个事件a包括的结果有m个 那么事件a的概率p a 名师讲解 1 古典概型 1 试验中所有可能出现的基本事件只有有限个 每次试验只能出现一个基本事件 每个基本事件的出现是等可能的 这就是古典概型 2 古典概型是一种最基本的概型 也是学习其他概率的基础 深入理解等可能性事件必须抓住以下三个特点 第一 对于每次随机试验来说 只可能出现有限个不同试验结果 第二 对于这有限个不同试验结果 它们出现的可能性是相等的 第三 求事件的概率可以不通过大量重复试验 而只要通过对一次试验中可能出现的结果进行分析计算即可 2 古典概型的概率公式 1 如果试验的基本事件的总数为n a表示一个基本事件 即 2 对于古典概型 如果试验的所有结果 基本事件 数为n 随机事件a包含的基本事件数为m 则由互斥事件概率的加法公式可得所以 在古典概型中 3 用集合的观点来考查a的概率 有利于帮助学生生动 形象地理解事件a与基本事件的关系 有利于理解公式 如右上图所示 把一次试验中等可能出现的几个结果组成一个集合i 其中每一个结果就是i中的一个元素 把含m个结果的事件a看作含有m个元素的集合 则事件a是集合i的一个子集 则有 3 应用公式计算概率的步骤 1 判断试验是否为古典概型 2 算出基本事件总数n 3 算出事件a包含的基本事件数m 4 代入公式 典例剖析 题型一基本事件的个数问题例1 连续掷3枚硬币 观察落地后这3枚硬币出现正面还是反面 1 写出这个试验的基本事件空间 2 求这个试验的基本事件的总数 3 恰有两枚正面向上 这一事件包含哪几个基本事件 分析 用列举法写出所有结果 解 1 这个试验的基本事件空间 正 正 正 正 正 反 正 反 正 正 反 反 反 正 正 反 正 反 反 反 正 反 反 反 2 基本事件的总数是8 3 恰有两枚正面向上 包含以下3个基本事件 正 正 反 正 反 正 反 正 正 规律技巧 在一次试验中 所有可能发生的每一个基本结果都称为一个基本事件 所有基本事件构成的集合称为基本事件空间 基本事件空间常用大写希腊字母 表示 变式训练1 一只口袋里装有大小相同的5个球 其中3个白球 2个黑球 从中一次摸出两个球 1 共有多少个基本事件 2 两个球都是白球包含几个基本事件 解 1 记白球为1 2 3号 黑球为4 5号 有以下基本事件 1 2 1 3 1 4 1 5 2 3 2 4 2 5 3 4 3 5 4 5 共10个 2 两个球都是白球包含 1 2 1 3 2 3 共3个基本事件 题型二古典概率的计算例2 袋中有6个球 其中4个白球 2个红球 从袋中任意取出两球 求下列事件的概率 1 a 取出的两球都是白球 2 b 取出的两球1个是白球 另1个是红球 分析 首先应求出任取两球的基本事件的总数 然后需分别求出事件a 取出的两球都是白球的总数和事件b 取出的两球1个是白球 而另1个是红球的总数 套用公式求解即可 解 设4个白球的编号为1 2 3 4 2个红球的编号为5 6 从袋中的6个小球中任取两个的基本事件为 1 2 1 3 1 4 1 5 1 6 2 3 2 4 2 5 2 6 3 4 3 5 3 6 4 5 4 6 5 6 共15个 1 从袋中的6个球中任取两个 所取的两球全是白球的基本事件数 即是从4个白球中任取两个的基本事件数 共有6个 即为 1 2 1 3 1 4 2 3 2 4 3 4 取出的两个球全是白球的概率为 2 从袋中的6个球中任取两个 其中一个为红球 而另一个为白球 其取法包括 1 5 1 6 2 5 2 6 3 5 3 6 4 5 4 6 共8个 取出的两个球一个是白球 另一个是红球的概率为 规律技巧 取出两球的结果数15还可以这样计算 从袋中6个球中任取两球 并按抽取顺序 x y 记录结果 由于随机抽取 因此x有6种 y有5种 共有5 6 30种 但在记录的结果中有些是重复的 如 1 2 2 1 是30种中的两种 它们在 从袋中取出2球 这件事上 是同一种情况 从而应有5 6 2 15种情况 变式训练2 2009 福建 袋中有大小 形状相同的红 黑球各一个 现依次有放回地随机摸取3次 每次摸取一个球 1 试问 一共有多少种不同的结果 请列出所有可能的结果 2 若摸到红球时得到2分 摸到黑球时得1分 求3次摸球所得总分为5的概率 解 1 一共有8种不同的结果 列举如下 红 红 红 红 红 黑 红 黑 红 红 黑 黑 黑 红 黑 黑 黑 红 黑 黑 黑 黑 红 红 2 记 摸球3次所得总分为5 的事件为a 则事件a包含的基本事件有 红 红 黑 红 黑 红 黑 红 红 事件a包含3个基本事件 由 1 知 基本事件总数为8 所以事件a的概率为 题型三较复杂的概率计算问题例3 同时抛掷两枚相同的骰子 求 1 点数之和为7的概率 2 点数之和不大于5的概率 3 有一个点数是6的概率 分析 解答本题可先列出抛掷两枚骰子的所有基本事件 由于含基本事件较多 可采用表格的方法列出 然后再分情况解答 解 列表 第二枚掷得点数 第一枚掷得点数 由表可知 共有基本事件36种 1 设点数之和为7的事件为a 则a包含的基本事件有 1 6 6 1 2 5 5 2 3 4 4 3 共6种 2 设点数之和不大于5的事件为b 则b包含的基本事件有 1 1 1 2 1 3 1 4 2 1 2 2 2 3 3 1 3 2 4 1 共10种 3 设有一个点数是6的事件为c 则c包含的基本事件有 6 1 6 2 6 3 6 4 6 5 6 6 1 6 2 6 3 6 4 6 5 6 共11种 规律技巧 在求概率时 通常把全体基本事件列表或用直角坐标系中的点表示 以方便我们更直接 更准确地找出某个事件所包含的基本事件种数 然后代入公式求出概率 变式训练3 现从a b c d e五人中选取三人参加一个重要会议 五人被选中的机会相等 求 1 a被选中的概率 2 a和b同时被选中的概率 3 a或b被选中的概率 解 从a b c d e五人中任选三人参加会议共有以下10种方式 a b c a b d a b e a c d a c e a d e b c d b c e b d e c d e 且每种结果出现是等可能的 1 事件 a被选中 共有6种方式 故所求事件的概率 2 a b同时被选中共有3种方式 故所求事件的概率为 3 方法一 a或b被选中 的对立事件为 a和b均未被选中 故所求事件的概率方法二 a或b被选中 即a b两人至少有一个被选中 共有9种方式 故所求事件的概率 例4 2009 山东 一汽车厂生产a b c三类轿车 每类轿车均有舒适型和标准型两种型号 某月的产量如下表 单位 辆 按类用分层抽样的方法在这个月生产的轿车中抽取50辆 其中有a类轿车10辆 1 求z的值 2 用分层抽样的方法在c类轿车中抽取一个容量为5的样本 将该样本看成一个总体 从中任取2辆 求至少有1辆舒适型轿车的概率 3 用随机抽样的方法从b类舒适型轿车中抽取8辆 经验测它们的得分如下 9 4 8 6 9 2 9 6 8 7 9 3 9 0 8 2 把这8辆轿车的得分看成一个总体 从中任取一个数 求该数与样本平均数之差的绝对值不超过0 5的概率 分析 本题主要考查分层抽样及古典概型的应用 考查应用所学知识解决实际问题的能力 解 1 设该厂这个月共生产轿车n辆 则z 2000 100 300 150 450 600 400 2 设所抽样本中有a辆舒适型轿车 因此抽取的容量为5的样本中 有2辆舒适型轿车 3辆标准型轿车 用a1 a2表示2辆舒适型轿车 用b1 b2 b3表示3辆标准型轿车 用e表示事件 在该样本中任取2辆 其中至少有1辆舒适型轿车 则基本事件空间包含的基本事件有 a1 a2 a1 b1 a1 b2 a1 b3 a2 b1 a2 b2 a2 b3 b1 b2 b1 b3 b2 b3 共10个 事件e包含的基本事件有 a1 a2 a1 b1 a1 b2 a1 b3 a2 b1 a2 b2 a2 b3 共7个 3 样本平均数设d表示事件 从样本中任取一个数 该数与样本平均数之差的绝对值不超过0 5 则基本事件空间中有8个基本事件 事件d包含的基本事件有 9 4 8 6 9 2 8 7 9 3 9 0 共6个 变式训练4 2008 辽宁 4张卡片上分别写有数字1 2 3 4 从这4张卡片中随机抽取2张 则取出的卡片上的数字之和为奇数的概率为 答案 c 解析 从4张卡片随机取2张 共有 1 2 1 3 1 4 2 3 2 4 3 4 6种基本事件 其数字之和为奇数的有 1 2 1 4 2 3 3 4 技能演练 基础强化 1 从甲 乙 丙三人中 任选两名代表 甲被选中的概率为 答案 d 解析 甲 乙 丙三人中任选两名代表有如下三种情况 甲 乙 甲 丙 乙 丙 其中甲被选中包含两种 因此概率 2 在第1 3 4 5 8路公共汽车都要停靠的一个站 假定这个站只能停靠一辆汽车 有一位乘客等候第4路或第8路汽车 假定当时各路汽车首先到站的可能性相等 则首先到站正好是这位乘客所需乘的汽车的概率等于 答案 d 解析 由题知 在该问题中基本事件总数为5 一位乘客等车这一事件包含2个基本事件 故所求概率为 3 一枚硬币连掷3次 只有两次出现正面的概率是 解析 一枚硬币连掷3次 有8个不同的结果 而两次出现正面向上的情况有 正 正 反 正 反 正 反 正 正 包含3个结果 因此所求概率为 答案 a 4 有4条线段 长度分别为1 3 5 7 从这四条线中任取三条 则所取三条线段能构成一个三角形的概率是 解析 在4条线段1 3 5 7中任取3条有4种取法 1 3 5 1 5 7 1 3 7 3 5 7 其中仅有 3 5 7 能构成三角形 故所求概率为 答案 a 5 从含有3个元素的集合中任取一个子集 所取的子集恰含两个元素的概率为 解析 设集合a a1 a2 a3 则a有8个子集 它们是 a1 a2 a3 a1 a2 a1 a3 a2 a3 a1 a2 a3 其中含有两个元素的子集有3个 故所求概率为p 答案 d 6 利用简单随机抽样的方法抽查了某校200名学生 其中戴眼镜的同学有120人 若在这个学校随机调查一名学生 则这名学生戴眼镜的概率是 0 6 解析 依题意知 随机调查一名学生 戴眼镜的概率为 7 从编号为1到100的100张卡片中 任取一张 所得编号是4的倍数的概率为 0 25 解析 设4的倍数为4k k取整数 令1 4k 100 解得1 k 25 即在1到100之间共有25个数是4的倍数 因此 8 先后抛掷两枚均匀的正方体骰子 它的六个面分别标有点数1 2 3 4 5 6 骰子朝上的面的点数分别为x y 则log2xy 1的概率为 解析 由log2xy 1 得y 2x 1 y 6 x 1 2 3 而先后抛掷两个骰子 有6 6 36个基本结果 而适合题意的结果有3个 由古典概型公式知 所求概率为 能力提升 9 随意安排甲 乙 丙3人在3天节日中值班 每人值班1天 则 1 这3人的值班顺序共有多少种不同的排列方法 2 其中甲在乙之前的排法有多少种 3 甲排在乙之前的概率为多少 解 1 三人值班共有排法 甲 乙 丙 甲 丙 乙 乙 甲 丙 乙 丙 甲 丙 乙 甲 丙 甲 乙 6种 2 因为甲排在乙之前与甲排在乙之后的可能性是相等的 且甲排在乙之前与甲排在乙之后构成对立事件 甲排在乙之前的排法有3种 3 甲排在乙之前的概率为 10 2008 四川文 为了了解 中华人民共和国道路交通安全法 在学生中的普及情况 调查部门对某校6名学生进行问卷调查 6人得分情况如下 5 6 7 8 9 10 把这6名学生的得分看成一个总体 1 求该总体的平均数 2 用简单随机抽样方法从这6名学生中抽取2名 他们的得分组成一个样本 求该样本平均数与总体平均数之差的绝对值不超过0 5的概率 解 1 总体平均数为 5 6 7 8 9 10 7 5 2 设a表示事件 样本平均数与总体平均数之差的绝对值不超过0 5 从总体中抽取2个个体全部可能的基本结果 有 5 6 5 7 5 8 5 9 5 10 6 7 6 8 6 9 6 10 7 8 7 9 7 10 8 9 8 10 9 10 共有15个基本结果 事件a包含的基本结果有 5 9 5 10 6 8 6 9 6 10 7 8 7 9 共7个基本结果 所以所求的概率为 品味高考 11 2009 江苏 现有5根竹竿 它们的长度 单位 m 分别为2 5 2 6 2 7 2 8 2 9 若从中一次随机抽取2根竹竿 则它们的长度恰好相差0 3m的概率为 0 2 解析 从5根竹竿中任取2根的取法有 5 4 10种可能结果