高考数学一轮复习 第二章 第12讲 导数与函数极值、最值资料（艺术班）.doc

第二章函数、导数及其应用第12讲 导数与函数极值、最值一、必记3个知识点1函数的单调性在(a，b)内可导函数f(x)，f(x)在(a，b)任意子区间内都不恒等于0.f(x)0f(x)在(a，b)上为增函数f(x)0f(x)在(a，b)上为减函数2函数的极值(1)函数的极小值：函数yf(x)在点xa的函数值f(a)比它在点xa附近其它点的函数值都小，f(a)0，而且在点xa附近的左侧f(x)0，右侧f(x)0，则点a叫做函数yf(x)的极小值点，f(a)叫做函数yf(x)的极小值(2)函数的极大值：函数yf(x)在点xb的函数值f(b)比它在点xb附近的其他点的函数值都大，f(b)0，而且在点xb附近的左侧f(x)0，右侧f(x)0，则点b叫做函数yf(x)的极大值点，f(b)叫做函数yf(x)的极大值极小值点，极大值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值3函数的最值(1)在闭区间a，b上连续的函数f(x)在a，b上必有最大值与最小值(2)若函数f(x)在a，b上单调递增，则f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；若函数f(x)在a，b上单调递减，则f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值二、必明2个易误区1求函数极值时，误把导数为0的点作为极值点；极值点的导数也不一定为0.2易混极值与最值：注意函数最值是个“整体”概念，而极值是个“局部”概念三、必会2个方法解决含参数问题及不等式问题中的两个转化(1)利用导数解决含有参数的单调性问题可将问题转化为不等式恒成立问题，要注意分类讨论和数形结合思想的应用(2)将不等式的证明、方程根的个数的判定转化为函数的单调性、极值问题处理第二课时导数与函数极值、最值考点一运用导数解决函数的极值问题典例(2013福建高考节选)已知函数f(x)x1(ar，e为自然对数的底数)(1)若曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线平行于x轴，求a的值；(2)求函数f(x)的极值解(1)由f(x)x1，得f(x)1.又曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线平行于x轴，得f(1)0，即10，解得ae.(2)f(x)1，当a0时，f(x)0，f(x)为(，)上的增函数，所以函数f(x)无极值当a0时，令f(x)0，得exa，即xln a.x(，ln a)，f(x)0，所以f(x)在(，ln a)上单调递减，在(ln a，)上单调递增，故f(x)在xln a处取得极小值，且极小值为f(ln a)ln a，无极大值综上，当a 0时，函数f(x)无极值；当a0时，f(x)在xln a处取得极小值ln a，无极大值一题多解若把本例中f(x)变为“f(x)xaln x(ar)”，试求函数的极值.解：由f(x)1，x0知：(1)当a0时，f(x)0，函数f(x)为(0，)上的增函数，函数f(x)无极值；(2)当a0时，由f(x)0，解得xa.又当x(0，a)时，f(x)0，从而函数f(x)在xa处取得极小值，且极小值为f(a)aaln a，无极大值综上，当a0时，函数f(x)无极值；当a0时，函数f(x)在xa处取得极小值aaln a，无极大值类题通法求函数f(x)极值的步骤(1)确定函数的定义域；(2)求导数f(x)；(3)解方程f(x)0，求出函数定义域内的所有根；(4)列表检验f(x)在f(x)0的根x0左右两侧值的符号，如果左正右负，那么f(x)在x0处取极大值，如果左负右正，那么f(x)在x0处取极小值针对训练设f(x)2x3ax2bx1的导数为f(x)，若函数yf(x)的图像关于直线x对称，且f(1)0.(1)求实数a，b的值； (2)求函数f(x)的极值解：(1)因为f(x)2x3ax2bx1，故f(x)6x22axb，从而f(x)62b，即yf(x)关于直线x对称从而由题设条件知，即a3.又由于f(1)0，即62ab0，得b12.(2)由(1)知f(x)2x33x212x1，所以f(x)6x26x126(x1)(x2)，令f(x)0，即6(x1)(x2)0，解得x2或x1，当x(，2)时，f(x)0，即f(x)在(，2)上单调递增；当x(2,1)时，f(x)0，即f(x)在(1，)上单调递增从而函数f(x)在x2处取得极大值f(2)21，在x1处取得极小值f(1)6.考点二运用导数解决函数的最值问题典例已知函数f(x)(xk)ex.(1)求f(x)的单调区间； (2)求f(x)在区间0,1上的最小值解(1)f(x)(xk1)ex.令f(x)0，得xk1.f(x)与f(x)的情况如下：x(，k1)k1(k1，)f(x)0f(x)ek1所以，f(x)的单调递减区间是(，k1)；单调递增区间是(k1，)(2)当k10，即k1时，函数f(x)在0,1上单调递增，所以f(x)在区间0,1上的最小值为f(0)k；当0k11，即1k2时，由(1)知f(x)在0，k1)上单调递减，在(k1,1上单调递增，所以f(x)在区间0,1上的最小值为f(k1)ek1；当k11时，即k2时，函数f(x)在0,1上单调递减，所以f(x)在区间0,1上的最小值为f(1)(1k)e.综上，在区间0,1上k1时，f(x)最小值为f(0)k.1k0)，若函数f(x)在x1处与直线y相切， (1)求实数a，b的值； (2)求函数f(x)在上的最大值解：(1)f(x)2bx，函数f(x)在x1处与直线y相切，解得(2)f(x)ln xx2，f(x)x，当xe时，令f(x)0得x1；令f(x)0，得10，故f(x)在(，2)上为增函数；当x(2,2)时，f(x)0，故f(x)在(2，)上为增函数由此可知f(x)在x2处取得极大值f(2)16c，f(x)在x2处取得极小值f(2)c16.由题设条件知16c28，解得c12.此时f(3)9c21，f(3)9c3，f(2)16c4，因此f(x)在3,3上的最小值为f(2)4.类题通法求一个函数在闭区间上的最值和在无穷区间(或开区间)上的最值时，方法是不同的求函数在无穷区间(或开区间)上的最值，不仅要研究其极值情况，还要研究其单调性，并通过单调性和极值情况，画出函数的大致图像，然后借助图像观察得到函数的最值针对训练已知函数f(x)x3ax2bxc，曲线yf(x)在点x1处的切线为l：3xy10，若x时，yf(x)有极值(1)求a，b，c的值； (2)求yf(x)在3,1上的最大值和最小值解：(1)由f(x)x3ax2bxc，得f(x)3x22axb.当x1时，切线l的斜率为3，可得2ab0，当x时，yf(x)有极值，则f0，可得4a3b40，由，解得a2，b4.由于切点的横坐标为1，所以f(1)4.所以1abc4.所以c5.(2)由(1)，可得f(x)x32x24x5，f(x)3x24x4.令f(x)0，解之，得x12，x2.当x变化时，f(x)，f(x)的取值及变化情况如下表所示：x3(3，2)21f(x)00f(x)8134所以yf(x)在3,1上的最大值为13，最小值为.课后作业1函数f(x)x23x4在0,2上的最小值是()ab c4 d解析：选af(x)x22x3，令f(x)0得x1(x3舍去)，又f(0)4，f(1)，f(2)，故f(x)在0,2上的最小值是f(1).2已知函数f(x)x3ax2bxa2在x1处有极值10，则f(2)等于()a11或18 b11 c18 d17或18解析：选c函数f(x)x3ax2bxa2在x1处有极值10，f(1)10，且f(1)0，即解得或而当时，函数在x1处无极值，故舍去f(x)x34x211x16，f(2)18.故选c.3.(2013郑州二模)函数f(x)的定义域为开区间(a，b)，其导函数f(x)在(a，b)内的图像如图所示，则函数f(x)在开区间(a，b)内的极大值点有()a1个 b2个c3个 d4个解析：选b依题意，记函数yf(x)的图像与x轴的交点的横坐标自左向右依次为x1，x2，x3，x4，当ax0；当x1xx2时，f(x)0；当x2xx4时，f(x)0；当x4xb时，f(x)0，所以g(x)，令g(x)0得x1，当x(0,1)时，g(x)0，故(1，)是g(x)的单调递增区间，因此，x1是g(x)的唯一极值点，且为极小值点，从而是最小值点，所以g(x)的最小值为g(1)1.5（2012江苏高考）若函数yf(x)在xx0处取得极大值或极小值，则称x0为函数yf(x)的极值点已知a，b是实数，1和1是函数f(x)x3ax2bx的两个极值点(1)求a和b的值； (2)设函数g(x)的导函数g(x)f(x)2，求g(x)的极值点解：(1)由题设知f(x)3x22axb，且f(1)32ab0，f(1)32ab0，解得a0，b3.(2)由(1)知f(x)x33x.因为f(x)2(x1)2(x2)，所以g(x)0的根为x1x21，x32，于是函数g(x)的极值点只可能是1或2.当x2时，g(x)0；当2x1时，g(x)0，故2是g(x)的极值点当2x1或x1时，g(x)0，故1不是g(x)的极值点所以g(x)的极值点为2.6(2013威海模拟)当函数yx2x取极小值时，x()a. b cln 2 dln 2解析：选by2xx2xln 20，x.7设函数f(x)ax2bxc(a，b，cr)若x1为函数f(x)ex的一个极值点，则下列图像不可能为yf(x)图像的是()解析：选d因为f(x)exf(x)exf(x)(ex)f(x)f(x)ex，且x1为函数f(x)ex的一个极值点，所以f(1)f(1)0；选项d中，f(1)0，f(1)0，不满足f(1)f(1)0.8已知函数f(x)x3ax24在x2处取得极值，若m，n1,1，则f(m)f(n)的最小值是()a13 b15 c10 d15解析：选a求导得f(x)3x22ax，由函数f(x)在x2处取得极值知f(2)0，即342a20，a3.由此可得f(x)x33x24，f(x)3x26x，易知f(x)在1,0)上单调递减，在(0,1上单调递增，当m1,1时，f(m)minf(0)4.又f(x)3x26x的图像开口向下，且对称轴为x1，当n1,1时，f(n)minf(1)9.故f(m)f(n)的最小值为13.故选a.9(2014荆州质检)设函数f(x)在r上可导，其导函数是f(x)，且函数f(x)在x2处取得极小值，则函数yxf(x)的图像可能是()解析：选cf(x)在x2处取得极小值，即x2，f(x)2，f(x)0，那么yxf(x)过点(0,0)及(2,0)当x2时，x0，f(x)0；当2x0时，x0，y0时，f(x)0，y0，故c正确10已知函数f(x)x3mx2(m6)x1既存在极大值又存在极小值，则实数m的取值范围是_解析：f(x)3x22mxm60有两个不等实根，即4m212(m6)0.所以m6或m3.答案：(，3)(6，)11已知函数yf(x)x33ax23bxc在x2处有极值，其图像在x1处的切线平行于直线6x2y50，则f(x)极大值与极小值之差为_解析：y3x26ax3b，y3x26x，令3x26x0，得x0或x2.f(x)极大值f(x)极小值f(0)f(2)4.答案：412(2013江苏高考节选)设函数f(x)ln xax，g(x)exax，其中a为实数若f(x)在(1，)上是单调减函数，且g(x)在(1，)上有最小值，求a的取值范围解：令f(x)a0，进而解得xa1，即f(x)在(a1，)上是单调减函数同理，f(x)在(0，a1)上是单调增函数由于f(x)在(1，)上是单调减函数，故(1，)(a1，)，从而a11，即a1.令g(x)exa0，得xln a当xln a时，g(x)ln a时，g(x)0.又g(x)在(1，)上有最小值，所以ln a1，即ae.综上，a的取值范围为(e，)13已知函数f(x)x21与函数g(x)aln x(a0)(1)若f(x)，g(x)的图像在点(1,0)处有公共的切线，求实数a的值；(2)设f(x)f(x)2g(x)，求函数f(x)的极值解：(1)因为f(1)0，g(1)0，所以点(1,0)同时在函数f(x)，g(x)的图像上，因为f(x)x21，g(x)aln x，所以f(x)2x，g(x)，由已知，得f(1)g(1)，所以2，即a2.(2)因为f(x)f(x)2g(x)x212aln x(x0)，所以f(x)2x，当a0，且x2a0，所以f(x)0对x0恒成立，所以f(x)在(0，)上单调递增，f(x)无极值；当a0时，令f(x)0，解得x1，x2(舍去)，所以当x0时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x(0，)(，)f(x)0f(x)递减极小值递增所以当x时，f(x)取得极小值，且f()()212alna1aln a.综上，当a0时，函数f(x)在x处取得极小值a1aln a.14(2013晋中名校联考)已知函数f(x)ax2ex(ar，e为自然对数的底数)，f(x)是f(x)的导函数(1)解关于x的不等式：f(x)f(x)；(2)若f(x)有两个极值点x1，x2，求实数a的取值范围解：(1)f(x)2axex，f(x)f(x)ax(x2)0.当a0时，无解；当a0时