数值分析 松弛法.doc

数值分析实验报告姓名学号日期实验室设备编号实验题目用松弛法解方程组一 实验目的1.熟悉松弛法及高斯-赛德尔方法求解非线性方程根的数值算法。 2.加深对松弛法以及高斯-赛德尔方法的理解。二 实验内容1用松弛法求下方程组解，精确到10 。(1) 跟G-S作比较(2) 进一步考虑如何求最佳的W？（一）松弛法的基本思想：设Ax=b，A=I-B,x=Bx+b,A+B=I,那么简单迭代： x=Bx+b剩余向量： r=b-Ax,b=Ax+r x=Bx+Ax+r=(A+B)x+r得到x=x+r 。因此，作一次迭代相当于在第k次近似解的基础上，用剩余量进行修正。或许在修正项前乘一个因子，会使迭代收敛的快一些。 x=x+w(b-Ax)=(I-wA)x+wb其中迭代阵为I-wA。（二）程序代码：% 松弛法 % Sor.m %A=4 -2 -1;-2 4 -2;-1 -2 3;B=0 -2 3;f=1; %f=1.1,1.03,0.95format long;if f=2 error (A SOR facter must be oppsitive and less than 2. );endEr_user=5e-6; N=10;m,n=size(A);mm,nn=size(B);if m=n error(A is not a square matrix.);end if m=mm error(The row of B did not match the column of A);end X=zeros(n,1);k=1;while k=N Xk=X; for i=1:n for j=1:n AX(j)=A(i,j)*X(j); end Sum_AX=sum(AX); AX=0; X(i)=X(i)+f*(B(i)-Sum_AX)/A(i,i); end Er=max(abs(Xk-X); if Er 0.716190 0.674366 1.688307 11%f=1.03时：x、k的值 0.740677 0.703675 1.717588 11 %f=1.1时：x、k的值 0.7959471 0.769365 1.782725 11%f=0.95时：x、k的值 0.674553 0.624283 1.638004 11 （三）.结果分析 根据AX=B, A=4 -2 -1;-2 4 -2;-1 -2 3; B=0 ;-2; 3;可求出精确解为x*=1;1;2。 根据不同的松弛因子，得到了不同的结果。高斯-赛德尔迭代方法：在雅可比迭代中，求时是用的所有分量来参加计算的，而在计算的第i个分量时，已经计算好前面i-1个分量 (j=1,2,i-1).设想方法收敛，第(K+1)次的分量比第K次的分量更接近于真实解，为了加速收敛，在计算的第i个分量时，所用的的前i-1个分量换成新算好的值，即用，.，来计算，这就是赛德尔迭代的思想，而在雅可比方法基础上用赛德尔迭代，称为高斯-赛德尔方法。高斯-赛德尔算法：1）input n,A,b,N2) xi - 0(i=1,2,.，n)3) k - 14) while(k=N)do(5 11)5) err - 06) for i=1 to n,do(7 9)7) XI - xi8) xi-(bi-)9) if(err|XI-xi|)then err=|XI-xi|10) if(err)then output(xi,i=1,2,n),stop11) k1时，称为超松弛方法；