高三数学总复习导与练 第二篇第三节配套课件（教师用） 理.ppt

第3节函数的基本性质 考纲展示1 理解函数的单调性 会讨论和证明函数的单调性 理解函数的奇偶性 会判断函数的奇偶性 2 理解函数的最大 小 值及其几何意义 并能求函数的最大 小 值 3 会运用函数图象理解和讨论函数的性质 1 单调函数的定义设函数f x 的定义域为i 如果对于定义域i内某个区间d上的任意两个自变量的值x1 x2 当x1f x2 则f x 在区间d上是减函数 2 单调区间若函数f x 在区间d上是增函数或减函数 则称函数f x 在这一区间上具有 严格的 单调性 区间d叫做f x 的单调区间 提示 函数的单调区间是其定义域的子集 如果一个函数在其定义域内的几个区间上都是增函数 或减函数 不能说该函数在其定义域上是增函数 或减函数 也不能将各个单调区间用 连接 而应写成 0 和 0 3 函数的最值 1 函数的最大值 一般地 设函数y f x 的定义域为i 如果存在实数m满足 对于任意的x i 都有f x m 存在x0 i 使得f x0 m 那么 我们称m是函数y f x 的最大值 2 函数的最小值 一般地 设函数y f x 的定义域为i 如果存在实数n满足 对于任意的x i 都有f x n 存在x0 i 使得f x0 n 那么 我们称n是函数y f x 的最小值 函数的最值是函数在其定义域上的一个整体性质 它与值域有着密切的关系 函数的值域一定存在 但最值不一定存在 对于在一个闭区间上的连续函数f x 来说 它一定有最小值m 也一定有最大值m 这时函数的值域是 m m 4 函数的奇偶性 1 偶函数 一般地 如果对于函数f x 的定义域内任意一个x 都有f x f x 那么函数f x 就叫做偶函数 偶函数的图象关于y轴对称 2 奇函数 一般地 如果对于函数f x 的定义域内任意一个x 都有f x f x 那么函数f x 就叫做奇函数 奇函数的图象关于原点对称 1 若函数f x ax 1在r上递减 则函数g x a x2 4x 3 的增区间是 b a 2 b 2 c 2 d 2 解析 由f x 在r上递减知a 0 所以g x 在 2 上递增 在 2 上递减 4 2010年高考江苏卷 设函数f x x ex ae x x r 是偶函数 则实数a的值为 解析 法一 由题意知 g x ex ae x为奇函数 又x r g 0 0 即1 a 0 a 1 法二 由题意知f 1 f 1 即 e 1 a e e a e 1 解得a 1 答案 1 审题指导 1 证明 法一 函数f x 对于任意x y r 总有f x f y f x y 令x y 0 得f 0 0 利用赋值法 求得f 0 的值再令y x 得f x f x 判断函数f x 的奇偶性在r上任取x1 x2 则x1 x2 0 紧扣单调性定义 设出x1 x2 突出取值的任意性f x1 f x2 f x1 f x2 f x1 x2 又 x 0时 f x 0 而x1 x2 0 f x1 x2 0 作差变形 进而判断出f x1 f x2 的符号即f x1 f x2 2 解 f x 在r上是减函数 f x 在 3 3 上也是减函数 判断出f x 在 3 3 上的单调性 f x 在 3 3 上的最大值和最小值分别为f 3 与f 3 而f 3 3f 1 2 f 3 f 3 2 由单调性判断最值并求出 f x 在 3 3 上的最大值为2 最小值为 2 归纳小结 呈现结论 本题采用变量替换的方法 结合函数的奇偶性 建立了关于函数f x g x 的方程组 从而可求得f x 与g x 的解析式 然后再代入比较函数值的大小 变式探究21 2010年高考广东卷 若函数f x 3x 3 x与g x 3x 3 x的定义域均为r 则 a f x 与g x 均为偶函数 b f x 为偶函数 g x 为奇函数 c f x 与g x 均为奇函数 d f x 为奇函数 g x 为偶函数 解析 f x 与g x 的定义域都是 且f x 3 x 3x f x g x 3 x 3x 3x 3 x g x f x 为偶函数 g x 为奇函数 故选b 例3 2009年高考山东卷 已知定义在r上的奇函数f x 满足f x 4 f x 且在区间 0 2 上是增函数 若方程f x m m 0 在区间 8 8 上有四个不同的根x1 x2 x3 x4 则x1 x2 x3 x4 思路点拨 根据已知条件分析函数f x 在 8 8 的单调性 对称性 画出图象进行求解 解析 f x 为奇函数并且f x 4 f x f x 4 f 4 x f x 即f 4 x f x 且f x 8 f x 4 f x y f x 的图象关于x 2对称 并且是周期为8的周期函数 f x 0 2 上是增函数 f x 在 2 2 上是增函数 在 2 6 上为减函数 据此可画出y f x 的示意图象 其图象也关于x 6对称 1 奇函数在原点两侧具有相同单调性 而偶函数在原点两侧具有相反的单调性 2 有关抽象函数涉及单调性 奇偶性 周期性 对称性等性质时 可考虑结合函数的图象特征 运用数形结合的思想方法求解 变式探究31 2010年浙江省五校模拟 已知f x 是定义在r上的奇函数 当x 0时 f x x2 2x 若f 2 a2 f a 则实数a的取值范围是 a 1 2 b 1 2 c 2 1 d 2 1 解析 当x 0时 f x x2 2x为增函数 又 f x 是定义在r上的奇函数 f x 在r上为增函数 f 2 a2 f a 2 a2 a a2 a 2 0 2 a 1 实数a的取值范围是 2 1 故选c 求函数的最大 或最小 值常结合解析式的特点而选取适当的方法 1 配方法 二次函数或可转化为二次函数型的函数可首先用此法 2 单调性法 若所给函数在某个区间上单调性已知或能确定 则该函数在这个区间上的最值一般在端点处取得 3 基本不等式法 当函数的解析式是分式形式且分子分母不同次幂时可用此法 4 导数法 当函数解析式较复杂 如指数 对数函数与多项式结合 时 可考虑用此法 5 数形结合法 所给函数易画出其图象时 可结合图象求最值 例1 2010年高考山东卷 设f x 为定义在r上的奇函数 当x 0时 f x 2x 2x b b为常数 则f 1 等于 a 3 b 1 c 1 d 3 解析 由于f x 是定义在r上的奇函数 所以有f 0 0 即20 b 0 b 1 当x 0时 f x 2x 2x 1 f 1 f 1 21 2 1 1 3 故选d 例2 2011年辽宁大连市联考 已知函数f x 是定义在区间 a a a 0 上的奇函数 若g x f x 2 则g x 的最大值与最小值之和为 a 0 b 2 c 4 d 不能确定 解析 设m是f x 的最大值 则 m是f x 的最小值 g x max g x min f x max 2 f x min 2 4 故选c 错源 不注意分段函数的特点 选题明细表 解析 由函数单调性定义知选c 2 2011年安徽省 江南十校 高三联考 已知函数f x 是r上的单调增函数且为奇函数 则f 1 的值 a a 恒为正数 b 恒为负数 c 恒为0 d 可正可负 解析 f 0 0 f x 在r上递增 f 1 f 0 0 故选a 解析 由题意知f x 为偶函数 所以f 2 f 2 又x 0 时 f x 为减函数 且3 2 1 f 3 f 2 f 1 即f 3 f 2 f 1 故选a 4 2010年高考安徽卷 若f x 是r上周期为5的奇函数 且满足f 1 1 f 2 2 则f 3 f 4 等于 a a 1 b 1 c 2 d 2 解析 由f x 是r上周期为5的奇函数知f 3 f 2 f 2 2 f 4 f 1 f 1 1 f 3 f 4 1 故选a 6 2010年安徽四市联考 已知定义在r上的奇函数f x 满足f 1 x f 1 x 且f x 在区间 3 5 上单调递增 则函数f x 在区间 1 3 上的 a a 最大值是f 1 最小值是f 3 b 最大值是f 3 最小值是f 1 c 最大值是f 1 最小值是f 2 d 最大值是f 2 最小值是f 3 解析 依题意知 f x 的图象关于x 1对称 且f x 1 f x 1 f x 2 f x f x 4 f x 2 f x 因此函数f x 是以4为周期的函数 由此可知 f x 在 3 1 和 1 3 上是减函数 f x 在 1 3 上的最大值为f 1 最小值是f 3 故选a 二 填空题 三 解答题9 已知函数f x x2 x 0 1 判断f x 的奇偶性 并说明理由 2 若f 1 2 试判断f x 在 2 上的单调性 10 设f x g x 分别是定义在r上的奇函数和偶函数 当x 0时 f x g x f x g x 0且g 3 0 则不