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第二章 微积分学的创始人 德国数学家Leibniz 微分学 导数 描述函数变化快慢 微分 描述函数变化程度 都是描述物质运动的工具 从微观上研究函数 导数与微分 导数思想最早由法国 数学家Ferma在研究 极值问题中提出 英国数学家Newton 一 问题的提出 二 导数的定义 三 利用定义求导数 四 导数的几何意义 五 可导与连续的关系 第一节 导数的概念 一 问题的提出 1 自由落体运动的瞬时速度问题 如图 取极限得 o s 2 切线问题 割线的极限位置 切线 播放 如图 如果割线MN中点N趋向点M时 割线的极限位置直线MT就称为曲线C在点M处的切线 极限位置即 二 导数的定义 定义 其它形式 即 关于导数的说明 明显 2 右导数 单侧导数 1 左导数 三 由定义求导数 步骤 例1 解 例2 解 例3 解 更一般地 例如 例4 解 例5 解 例6 解 四 导数的几何意义与物理意义 1 几何意义 切线方程为 法线方程为 例7 解 由导数的几何意义 得切线斜率为 所求切线方程为 法线方程为 2 物理意义 非均匀变化量的瞬时变化率 变速直线运动 路程对时间的导数为物体的瞬时速度 交流电路 电量对时间的导数为电流强度 非均匀的物体 质量对长度的导数为物体的线密度 五 可导与连续的关系 定理凡可导函数都是连续函数 注意 该定理的逆定理不成立 连续函数不可导情形举例 例如 六 小结 1 导数的实质 增量比的极限 3 导数的几何意义 切线的斜率 4 函数可导一定连续 但连续不一定可导 5 求导数最基本的方法 由定义求导数 6 判断可导性 不连续 一定不可导 连续 直接用定义 看左右导数是否存在且相等 思考题 作业 P90 3 奇 5 偶 6 奇 7 8 11 13 牛顿 1642 1727 伟大的英国数学家 物理学家 天文 学家和自然科学家 他在数学上的卓越 贡献是创立了微积分 1665年他提出正 流数 微分 术 次年又提出反流数 积分 术 并于1671 年完成 流数术与无穷级数 一书 1736年出版 他 还著有 自然哲学的数学原理 和 广义算术 等 莱布尼兹 1646 1716 德国数学家 哲学家 他和牛顿同为 微积分的创始人 他在 学艺 杂志 上发表的几篇有关微积分学的论文中 有的早于牛顿 所用微积分符号也远远优于牛顿 他还设计了作乘法的计算机 系统地阐述二进制计 数法 并把它与中国的八卦联系起来 2 切线问题 割线的极限位置 切线位置 2 切线问题 割线的极限位置 切线位置 2 切线问题 割线的极限位置 切线位置 2 切线问题 割线的极限位置 切线位置 2 切线问题 割线的极限位置 切线位置 2 切线问题 割线的极限位置 切线位置 2 切线问题 割线的极限位置 切线位置
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