规律探索的基础(许万平).doc

规律探索的基础 一些有趣的数列三角形数古希腊科学家把数1，3，6，10，15，21这些数量的，都可以排成三角形，像这样的数称为三角形数。它有一定的规律性，排列如下，像上面的1、3、6、10、15这些能够表示成三角形的形状的总数量的数，叫做三角形数。正方形数1、4、16这样的数称为“正方形数”从图中可以发现，任何一个大于1的“正方形数”都可以看作两个相邻“三角形数”之和 谢宾斯基（Sierpinski）三角形在下图四个三角形中，着色三角形的个数依次构成一个数列的前4项，着色三角形的个数依次为1，3，9，27.则数列前4项都是3的指数幂，指数为序号减1。 通项公式是：An=3的n-1次方 斐波那契数列“斐波那契数列(Fibonacci)”的发明者，是意大利数学家列昂纳多斐波那契斐波那契数列指的是这样一个数列：1、1、2、3、5、8、13、21、 这个数列从第三项开始，每一项都等于前两项之和。它的通项公式为:(见图)（又叫“比内公式”，是用无理数表示有理数的一个范例。） 有趣的是：这样一个完全是自然数的数列，通项公式居然是用无理数来表达的。随着数列项数的增加，前一项与后一项之比越来越逼近黄金分割的数值0.6180339887斐波那契数列在自然界中的出现是如此地频繁，人们深信这不是偶然的。（1）细察下列各种花，它们的花瓣的数目具有斐波那契数：延龄草、野玫瑰、南美血根草、大波斯菊、金凤花、耧斗菜、百合花、蝴蝶花。（2）细察以下花的类似花瓣部分，它们也具有斐波那契数：紫宛、大波斯菊、雏菊。斐波那契数经常与花瓣的数目相结合：3百合和蝴蝶花5蓝花耧斗菜、金凤花、飞燕草8翠雀花13金盏草21紫宛34，55，84雏菊 通项公式写出下面数列的通项 1,2,3,4,5,6，。2,4,6,8,10，12，。1,3,5,7,9，。3,5,7,9,11，。-1,1,3,5，。2,4,8,16，。1,2，4,8,16，。1,3,7,15，。5,7,11,19，。1，-1,1，-1,1，-1，。1，-2,3，-4,5，-6，。4,7,10,13,16,19，。1,4,7,10,13,16，。-4,7，-10，13，-16，。1，0,1,0,1，。1,3,6,10,15，。1,2,3,5,8,13,21，。以上的数列的通项公式是我们以后探究数列通项公式的基础，同学们要在理解的基础上识记它们。有些公式，也可以从函数的角度去记忆它们，也可以对它们的本质有一个较高的认识。一般有下面的几种函数形式：y=an+by=an2+bn+cy=cany= can+b使用函数的解析式也可以解决一些求通项的问题，我们在后面要讲到。 高斯求和公式 200年前，德国著名数学家高斯的算术老师提出了下面问题： 1+2+3+4+100=? 据说，当其他同学忙于把100个数逐项相加时，10岁的高斯却用下面的方法迅速算出了正确答案： （1+100）+（2+99）+(50+51)=10150=5050 高斯的算法实际上解决了数列 1,2,3，n,前n项的和的问题。 我们可以仿照高斯的方法计算1,2,3，n,的前n项的和：1 + 2 + + n-1 + n n + n-1 + + 2 + 1(n+1)+ (n+1) + + (n+1) + (n+1) 可知 1 + 2 + + n-1 + n