北师大九年级上《4.4探索三角形相似的条件》同步练习含解析.doc

4.4 探索三角形相似的条件一、选择题1如图，小正方形的边长均为1，则下列图形中的三角形（阴影部分）与ABC相似的是（）ABCD2如图，在ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，如果DEBC，且DCE=B，那么下列说法中，错误的是（）AADEABCBADEACDCADEDCBDDECCDB3在RtACB中，C=90，AC=BC，一直角三角板的直角顶角O在AB边的中点上，这块三角板绕O点旋转，两条直角边始终与AC、BC边分别相交于E、F，连接EF，则在运动过程中，OEF与ABC的关系是（）A一定相似B当E是AC中点时相似C不一定相似D无法判断来源:*&中教%网4下列各组条件中，一定能推得ABC与DEF相似的是（）AA=E且D=FBA=B且D=FCA=E且DA=E且5如图，在ABC与ADE中，BAC=D，要使ABC与ADE相似，还需满足下列条件中的（）A =B =C =D =6如图，小正方形的边长均为1，则图中三角形（阴影部分）与ABC相似的是（）来%源:#中教*网&ABCD7如图，ACD和ABC相似需具备的条件是（）来&源:中国%教育出版网ABCAC2=ADABDCD2=ADBD8如图，正方形ABCD的边长为2，BE=CE，MN=1，线段MN的两端点在CD、AD上滑动，当DM为（）时，ABE与以D、M、N为顶点的三角形相似ABC或D或来源&:中教%网9如图所示，在ABCD中，BE交AC，CD于G，F，交AD的延长线于E，则图中的相似三角形有（）A3对B4对C5对D6对10如图，A=B=90，AB=7，AD=2，BC=3，在边AB上取点P，使得PAD与PBC相似，则这样的P点共有（）A1个B2个C3个D4个11如图，ABC中，A=78，AB=4，AC=6将ABC沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（）ABCD12如图，点F在平行四边形ABCD的边AB上，射线CF交DA的延长线于点E，在不添加辅助线的情况下，与AEF相似的三角形有（）A0个B1个C2个D3个二、填空题中国教育出版*&网13如图，在ABC中，BAC=90，B=30，ADBC，AE平分BAD，则ABC，BADACD（写出一个三角形即可）14如图，已知A=D，要使ABCDEF，还需添加一个条件，你添加的条件是（只需写一个条件，不添加辅助线和字母）15如图所示，已知点E在AC上，若点D在AB上，则满足条件（只填一个条件），使ADE与原ABC相似16如图，在ABC中，AB=9，AC=6，BC=12，点M在AB边上，且AM=3，过点M作直线MN与AC边交于点N，使截得的三角形与原三角形相似，则MN=17如图，矩形ABCD中，AD=2，AB=5，P为CD边上的动点，当ADP与BCP相似时，DP=18过ABC（ABAC）的边AC边上一定点M作直线与AB相交，使得到的新三角形与ABC相似，这样的直线共有条来源&:%中教网三、解答题19如图，在ABC中，BAC=90，M是BC的中点，过点A作AM的垂线，交CB的延长线于点D求证：DBADAC20如图，点C是线段AB上一点，ACD和BCE都是等边三角形，连结AE，BD，设AE交CD于点F（1）求证：ACEDCB；（2）求证：ADFBAD21如图，ABC中，C=90，AC=3，BC=4，点D是AB的中点，点E在DC的延长线上，且CE=CD，过点B作BFDE交AE的延长线于点F，交AC的延长线于点G来源:zz&step*.com（1）求证：AB=BG；（2）若点P是直线BG上的一点，试确定点P的位置，使BCP与BCD相似22如图，在ABC中，AB=AC=1，BC=，在AC边上截取AD=BC，连接BD中国*教育#出&版网%（1）通过计算，判断AD2与ACCD的大小关系；（2）求ABD的度数23如图，在正方形ABCD中，E、F分别是边AD、CD上的点，AE=ED，DF=DC，连接EF并延长交BC的延长线于点G（1）求证：ABEDEF；（2）若正方形的边长为4，求BG的长4.4 探索三角形相似的条件参考答案与试题解析一、选择题1如图，小正方形的边长均为1，则下列图形中的三角形（阴影部分）与ABC相似的是（）ABCD【考点】相似三角形的判定【分析】设各小正方形的边长为1，根据勾股定理分别表示出已知阴影三角形的各边长，同理利用勾股定理表示出四个选项中阴影三角形的各边长，利用三边长对应成比例的两三角形相似可得出左图中的阴影三角形与已知三角形相似的选项【解答】解：设各个小正方形的边长为1，则已知的三角形的各边分别为，2，A、因为三边分别为：，3，三边不能与已知三角形各边对应成比例，故两三角形不相似；B、因为三边分别为：1，三边与已知三角形的各边对应成比例，故两三角形相似；C、因为三边分别为：1，2，三边不能与已知三角形各边对应成比例，故两三角形不相似；D、因为三边分另为：2，三边不能与已知三角形各边对应成比例，故两三角形不相似，故选：B【点评】此题考查了相似三角形的判定以及勾股定理的运用；相似三角形的判定方法有：1、二对对应角相等的两三角形相似；2、两边对应成比例且夹角相等的两三角形相似；3、三边长对应成比例的两三角形相似；4、相似三角形的定义本题利用的是方法32如图，在ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，如果DEBC，且DCE=B，那么下列说法中，错误的是（）AADEABCBADEACDCADEDCBDDECCDB【考点】相似三角形的判定【分析】由相似三角形的判定方法得出A、B、D正确，C不正确；即可得出结论【解答】解：DEBC，ADEABC，BCD=CDE，ADE=B，AED=ACB，DCE=B，ADE=DCE，又A=A，ADEACD；BCD=CDE，DCE=B，DECCDB；B=ADE，但是BCDAED，且BCDA，ADE与DCB不相似；正确的判断是A、B、D，错误的判断是C；故选：C【点评】本题考查了相似三角形的判定方法；熟练掌握相似三角形的判定方法，由两角相等得出三角形相似是解决问题的关键3在RtACB中，C=90，AC=BC，一直角三角板的直角顶角O在AB边的中点上，这块三角板绕O点旋转，两条直角边始终与AC、BC边分别相交于E、F，连接EF，则在运动过程中，OEF与ABC的关系是（）www.z#zste&*A一定相似B当E是AC中点时相似C不一定相似D无法判断【考点】相似三角形的判定【分析】首先连接OC，由等腰直角三角形的性质，易证得COEBOF，则可得OEF是等腰直角三角形，继而可得OEF与ABC的关系是相似【解答】解：连结OC，C=90，AC=BC，B=45，点O为AB的中点，来源:%中教#网&OC=OB，ACO=BCO=45，EOC+COF=COF+BOF=90，EOC=BOF，在COE和BOF中，COEBOF（ASA），OE=OF，OEF是等腰直角三角形，OEF=OFE=A=B=45，OEFCAB故选：A来*源&%:中教网【点评】此题考查了相似三角形的判定、全等三角形的判定与性质以及等腰直角三角形性质此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用来源:中国#*教育&出版网4下列各组条件中，一定能推得ABC与DEF相似的是（）AA=E且D=FBA=B且D=FCA=E且DA=E且【考点】相似三角形的判定【分析】根据三角形相似的判定方法：两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似可以判断出A、B的正误；两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似可以判断出C、D的正误，即可选出答案【解答】解：A、D和F不是两个三角形的对应角，故不能判定两三角形相似，故此选项错误；B、A=B，D=F不是两个三角形的对应角，故不能判定两三角形相似，故此选项错误；C、由可以根据两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似可以判断出ABC与DEF相似，故此选项正确；D、A=E且不能判定两三角形相似，因为相等的两个角不是夹角，故此选项错误；故选：C【点评】此题主要考查了相似三角形的判定，关键是掌握三角形相似的判定方法：（1）平行线法：平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似；（2）三边法：三组对应边的比相等的两个三角形相似；（3）两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；（4）两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似5如图，在ABC与ADE中，BAC=D，要使ABC与ADE相似，还需满足下列条件中的（）A =B =C =D =【考点】相似三角形的判定【专题】证明题【分析】本题中已知BAC=D，则对应的夹边比值相等即可使ABC与ADE相似，结合各选项即可得问题答案【解答】解：BAC=D，中国教育出版*%#网ABCADE故选C来源:中国教育*#出版网【点评】此题考查了相似三角形的判定：有两个对应角相等的三角形相似；有两个对应边的比相等，且其夹角相等，则两个三角形相似；三组对应边的比相等，则两个三角形相似，熟记各种判定相似三角形的方法是解题关键6如图，小正方形的边长均为1，则图中三角形（阴影部分）与ABC相似的是（）中国#教育%出版网ABCD【考点】相似三角形的判定【专题】网格型【分析】设小正方形的边长为1，根据已知可求出ABC三边的长，同理可求出阴影部分的各边长，从而根据相似三角形的三边对应成比例即可得到答案【解答】解：小正方形的边长均为1ABC三边分别为2，同理：A中各边的长分别为：，3，；B中各边长分别为：，1，；C中各边长分别为：1、2，；D中各边长分别为：2，；只有B项中的三边与已知三角形的三边对应成比例，且相似比为故选B【点评】此题主要考查学生对相似三角形的判定方法的理解及运用7如图，ACD和ABC相似需具备的条件是（）ABCAC2=ADABDCD2=ADBD【考点】相似三角形的判定【分析】题目中隐含条件A=A，根据有两边对应成比例，且夹角相等的两三角形相似，得出添加的条件只能是=，根据比例性质即可推出答案【解答】解：在ACD和ABC中，A=A，根据有两边对应成比例，且夹角相等的两三角形相似，得出添加的条件是： =，来源:*中教网#AC2=ADAB故选C【点评】本题考查了相似三角形的判定，注意：有两边对应成比例，且夹角相等的两三角形相似来源:中%&教网#8如图，正方形ABCD的边长为2，BE=CE，MN=1，线段MN的两端点在CD、AD上滑动，当DM为（）时，ABE与以D、M、N为顶点的三角形相似ABC或D或【考点】相似三角形的判定；正方形的性质【分析】根据AE=EB，ABE中，AB=2BE，所以在MNC中，分CM与AB和BE是对应边两种情况利用相似三角形对应边成比例求出CM与CN的关系，然后利用勾股定理列式计算即可【解答】解：四边形ABCD是正方形，AB=BC，BE=CE，AB=2BE，中国#教育*出版%网又ABE与以D、M、N为顶点的三角形相似，DM与AB是对应边时，DM=2DN中国教&育出*版#网DM2+DN2=MN2=1DM2+DM2=1，解得DM=；DM与BE是对应边时，DM=DN，DM2+DN2=MN2=1，即DM2+4DM2=1，解得DM=DM为或时，ABE与以D、M、N为顶点的三角形相似故选C【点评】本题考查相似三角形的判定与性质、正方形的性质解决本题特别要考虑到DM与AB是对应边时，当DM与BE是对应边时这两种情况9如图所示，在ABCD中，BE交AC，CD于G，F，交AD的延长线于E，则图中的相似三角形有（）A3对B4对C5对D6对【考点】相似三角形的判定；平行四边形的性质【分析】根据相似三角形的判定来找出共有多少对相似的三角形【解答】解：ADBC，可知AGECGB，DFECFB，ABCCDA，ABCD，可知ABGCFG，ABECFB，EDFEAB共有6对，故选D【点评】本题主要考查对于相似三角形的判定的掌握以及能够不遗漏的找出全部的相似三角形10如图，A=B=90，AB=7，AD=2，BC=3，在边AB上取点P，使得PAD与PBC相似，则这样的P点共有（）A1个B2个C3个D4个【考点】相似三角形的判定中国教&%育*出版网【专题】计算题【分析】设AP=x，则有PB=ABAP=7x，分两种情况考虑：三角形PDA与三角形CPB相似；三角形PDA与三角形PCB相似，分别求出x的值，即可确定出P的个数【解答】解：设AP=x，则有PB=ABAP=7x，当PDACPB时， =，即=，解得：x=1或x=6，当PDAPCB时， =，即=，解得：x=，则这样的点P共有3个，故选C【点评】此题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法是解本题的关键11如图，ABC中，A=78，AB=4，AC=6将ABC沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（）ABCD【考点】相似三角形的判定【分析】根据相似三角形的判定定理对各选项进行逐一判定即可【解答】解：A、阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，故本选项错误；中国教#育%出版网B、阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，故本选项错误；C、两三角形的对应边不成比例，故两三角形不相似，故本选项正确；D、两三角形对应边成比例且夹角相等，故两三角形相似，故本选项错误故选C【点评】本题考查的是相似三角形的判定，熟知相似三角形的判定定理是解答此题的关键12如图，点F在平行四边形ABCD的边AB上，射线CF交DA的延长线于点E，在不添加辅助线的情况下，与AEF相似的三角形有（）A0个B1个C2个D3个【考点】相似三角形的判定；平行四边形的性质【分析】直接利用平行四边形的性质得出ADBC，ABDC，再结合相似三角形的判定方法得出答案【解答】解：四边形ABCD是平行四边形，ADBC，ABDC，AEFCBF，AEFDEC，与AEF相似的三角形有2个中国教育&出版网*#故选：C来*源#:中国教育出版网&%【点评】此题主要考查了相似三角形的判定以及平行四边形的性质，正确掌握相似三角形的判定方法是解题关键来%&源:中教网二、填空题13如图，在ABC中，BAC=90，B=30，ADBC，AE平分BAD，则ABCDBA，BADACD（写出一个三角形即可）【考点】相似三角形的判定【分析】根据垂直定义得出ADB=BAC，根据相似三角形的判定得出即可【解答】解：ABCDBA，理由是：ADBC，BAC=90，ADB=BAC，B=B，ABCDBA，故答案为：DBA【点评】本题考查了相似三角形的判定，垂直定义的应用，能运用相似三角形的判定定理进行推理是接解此题的关键14如图，已知A=D，要使ABCDEF，还需添加一个条件，你添加的条件是ABDE（只需写一个条件，不添加辅助线和字母）【考点】相似三角形的判定【专题】开放型【分析】根据有两组角对应相等的两个三角形相似进行添加条件【解答】解：A=D，当B=DEF时，ABCDEF，ABDE时，B=DEF，添加ABDE时，使ABCDEF故答案为ABDE【点评】本题考查了相似三角形的判定：有两组角对应相等的两个三角形相似15如图所示，已知点E在AC上，若点D在AB上，则满足条件B=AED（只填一个条件），使ADE与原ABC相似来源:中国%教育出版网&【考点】相似三角形的判定【分析】根据两个角对应相等的两个三角形相似，可得答案【解答】解：已知点E在AC上，若点D在AB上，则满足条件B=AED（只填一个条件），使ADE与原ABC相似，故答案为：B=AED【点评】本题考查了相似三角形的判定，熟记相似三角形的判定是解题关键16如图，在ABC中，AB=9，AC=6，BC=12，点M在AB边上，且AM=3，过点M作直线MN与AC边交于点N，使截得的三角形与原三角形相似，则MN=4或6【考点】相似三角形的判定来源:&中#*教网【分析】分别利用，当MNBC时，以及当ANM=B时，分别得出相似三角形，再利用相似三角形的性质得出答案来源:中#国*教&育出版网【解答】解：如图1，当MNBC时，则AMNABC，故=，则=，解得：MN=4，如图2所示：当ANM=B时，又A=A，ANMABC，=，w#ww.zzste%即=，解得：MN=6，故答案为：4或6来源:*中国教育出版网&#www.zz&ste*来源:中教网%&【点评】此题主要考查了相似三角形判定，正确利用分类讨论得出是解题关键17如图，矩形ABCD中，AD=2，AB=5，P为CD边上的动点，当ADP与BCP相似时，DP=1或4或2.5【考点】相似三角形的判定；矩形的性质【专题】分类讨论【分析】需要分类讨论：APDPBC和PADPBC，根据该相似三角形的对应边成比例求得DP的长度【解答】解：当APDPBC时， =，即=，解得：PD=1，或PD=4；当PADPBC时， =，即=，解得：DP=2.5综上所述，DP的长度是1或4或2.5故答案是：1或4或2.5【点评】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质对于动点问题，需要分类讨论，以防漏解18过ABC（ABAC）的边AC边上一定点M作直线与AB相交，使得到的新三角形与ABC相似，这样的直线共有2条【考点】相似三角形的判定【分析】过M作MNBC交AB于N；过M作AMD=B，交AB于D；即可得出结果【解答】解：如图所示：过M作MNBC交AB于N，ANMABC；过M作AMD=B，交AB于D，AMDABC；因此符合条件的直线共有2条；故答案为：2【点评】本题考查了相似三角形的判定方法；熟记相似三角形的判定方法是解决问题的关键三、解答题19（2016春昌平区期末）如图，在ABC中，BAC=90，M是BC的中点，过点A作AM的垂线，交CB的延长线于点D求证：DBADAC【考点】相似三角形的判定【专题】证明题【分析】根据直角三角形斜边上的中线性质求出AM=CM，推出C=CAM，求出DAB=CAM，求出DAB=C，根据相似三角形的判定得出即可【解答】证明：BAC=90，点M是BC的中点，AM=CM，C=CAM，DAAM，DAM=90，DAB=CAM，DAB=C，D=D，DBADAC【点评】本题考查了相似三角形的判定，直角三角形斜边上的中线性质的应用，能求出DAB=C是解此题的关键www.z%zst&20（2016萧山区模拟）如图，点C是线段AB上一点，ACD和BCE都是等边三角形，连结AE，BD，设AE交CD于点F来源:&中%国教育出版网（1）求证：ACEDCB；（2）求证：ADFBAD【考点】相似三角形的判定；全等三角形的判定与性质【专题】证明题【分析】（1）根据全等三角形的判定定理SAS证得结论；（2）利用（1）中全等三角形的对应角相等，平行线的判定与性质以及两角法证得结论【解答】解：（1）ACD和BCE都是等边三角形，AC=CD，CE=CB，ACD=BCE=60ACE=DCB=120ACEDCB（SAS）；（2）ACEDCB，CAE=CDBADC=CAD=ACD=CBE=60，来源:中国教育出版网&#DCBE，CDB=DBE，CAE=DBE，DAF=DBAADFBAD【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质有两组边对应相等，并且它们所夹的角也相等，那么这两个三角形全等；有两组角分别相等，且其中一组角所对的边对应相等，那么这两个三角形全等；全等三角形的对应边相等，对应角相等21（2016阜阳校级一模）如图，ABC中，C=90，AC=3，BC=4，点D是AB的中点，点E在DC的延长线上，且CE=CD，过点B作BFDE交AE的延长线于点F，交AC的延长线于点G（1）求证：AB=BG；（2）若点P是直线BG上的一点，试确定点P的位置，使BCP与BCD相似【考点】相似三角形的判定；直角三角形斜边上的中线【分析】（1）利用平行分线段成比例定理得出=，进而得出ABCGBC（SAS），即可得出答案；（2）分别利用第一种情况：若CDB=CPB，第二种情况：若PCB=CDB，进而求出相似三角形即可得出答案【解答】（1）证明：BFDE，=，AD=BD，AC=CG，AE=EF，在ABC和GBC中：，ABCGBC（SAS），AB=BG；来源:z&%（2）解：当BP长为或时，BCP与BCD相似；www#.zzs*tep.c%omAC=3，BC=4，AB=5，CD=2.5，DCB=DBC，DEBF，DCB=CBP，DBC=CBP，第一种情况：若CDB=CPB，如图1：在BCP与BCD中，BCPBCD（AAS），BP=CD=2.5；第二种情况：若PCB=CDB，过C点作CHBG于H点如图2：CBD=CBP，BPCBCD，来源:中国*&教育出版网#CHBG，ACB=CHB=90，ABC=CBH，ABCCBH，=，BH=，BP=w*w&综上所述：当PB=2.5或时，BCP与BCD相似【点评】此题主要考查了相似三角形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质，正确利用分类讨论分析是解题关键22（2016福州）如图，在ABC中，AB=AC=1，BC=，在AC边上截取AD=BC，连接BD（1）通过计算，