高中数学 322一元二次不等式的应用精品课件同步导学 北师大版必修5.ppt

2 2一元二次不等式的应用 1 会求解方程根的存在性问题和恒成立问题 2 会解一元三次不等式及可化为一元二次 或三次 不等式的分式不等式 3 能从实际情境中抽象出一元二次不等式模型 并加以解决 1 对解分式不等式及恒成立问题的考查是本节的热点 2 本节内容常与方程 函数 图像结合命题 3 三种题型均可能出现 1 不等式4x2 4x 1 0的解集是 2 若ax2 bx c 0 a 0 的解集是 则a b c满足的条件是 3 二次函数y ax2 bx c x r 的部分对应值如表 则不等式ax2 bx c 0的解集是 a 0 b2 4ac 0 2 4 4 函数y f x 的图像 如图 不等式f x 0的解集为 1 0 1 2 f x g x 0 f x g x 0 f x g x 0且g x 0 f x g x 0 f x 0 2 数轴标根法解不等式的步骤是 1 等价变形后的不等式一边是零 一边是各因式的积 未知系数一定为正数 2 把各因式的根标在数轴上 3 用曲线穿根 奇次根穿透 偶次根不穿透 4 看图像写出解集 从上往下同时从右向左 答案 a 答案 c 3 产品的总成本y 万元 与产量x 台 之间的函数关系式是y 3000 20 x 0 1x2 0 x 240 若每台产品的售价为25万元 则生产者不亏本 销售收入不小于总成本 时的最低产量是 解析 由题意得25x 3000 20 x 0 1x2 化简得x2 50 x 30000 0 x 200 x 150 0 x 200 舍去 或x 150 台 答案 150台 4 若方程mx2 2 m 1 x m 0有两个不等的正实数解 则m的取值范围是 答案 m 0 所以原不等式的解集为 x 1 x 1或x 3 即 1 1 3 1 可以化为不等式组求解 也可以先求出相应方程的根 用数轴标根法求解 2 先将不等式变形 化为等价整式不等式 组 再求解 方法二 将原不等式化为 x 1 x 1 x 2 x 4 0 对应方程各根依次为 1 1 2 4 由数轴标根法 如下图所示 得原不等式的解集为 x x 1或1 x 2或x 4 题后感悟 1 数轴标根法 穿针引线法 指导思想 分析对应函数的图像 函数图像的画法 整理 化为 x x1 x x2 x xn 0 或 0 的形式 标根 把f x x x1 x x2 x xn 0的n个根xi i 1 2 n 标在数轴上 穿线 从右至左 从上而下依次穿过 奇穿偶不穿 解集求法 大于 小于 零的不等式的解 对应着曲线在x轴上方 下方 部分的点的横坐标x的取值集合 2 解分式不等式注意的问题 解分式不等式一定要等价变形为标准形式 就是右边为零 左边为分式再等价转化为不等式组或高次不等式来求解 若分式不等式含等号 等价转化为整式不等式时 其分母不为零最易丢掉 这一点一定要注意 当分式不等式分母正负不确定时不可通过不等式两边同乘以分母的方法转化为整式不等式 原不等式解集为 x x2 设函数f x mx2 mx 1 1 若对于一切实数x f x 0恒成立 求m的取值范围 2 对于x 1 3 f x m 5恒成立 求m的取值范围 策略点睛 2 已知不等式x2 mx 4x m 4 1 若对一切实数x不等式恒成立 求实数m的取值范围 2 若对于0 m 4的所有实数m 不等式恒成立 求实数x的取值范围 解析 1 不等式变形为x2 m 4 x 4 m 0 设f x x2 m 4 x 4 m 对一切实数x不等式恒成立 等价于函数f x 的函数值恒为正值 或者说函数f x 的图像在x轴的上方 m 4 2 4 4 m m2 4m 0 解得0 m 4 2 将x看成参数 m看成自变量 不等式转化为m x 1 x2 4x 4 0 令g m m x 1 x2 4x 4 则g m 0对0 m 4恒成立 汽车在行驶时 由于惯性作用 刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停住 我们称这段距离为 刹车距离 刹车距离是分析交通事故的一个重要因素 在一个限速40km h的弯道上 甲 乙两车相向而行 发现情况不对 同时刹车 但还是相碰了 事发后现场勘查测得甲车的刹车距离略超过12m 乙车的刹车距离略超过10m 又知甲 乙两种车型的刹车距离s m 与车速x km h 之间分别有如下关系 s甲 0 1x 0 01x2 s乙 0 05x 0 005x2 试判断甲 乙两车有无超速现象 并根据所学数学知识给出判断的依据 解答本题可将刹车距离直接代入关系式分别得到一个关于x的一元二次不等式 解此不等式即可求出x的范围 即汽车刹车前的车速范围 解题过程 由题意 对于甲车 有0 1x 0 01x2 12 即x2 10 x 1200 0 解得x 30或x 40 舍去 这表明甲车的车速超过30km h 但根据题意刹车距离略超过12m 由此估计甲车不会超过限速40km h 对于乙车 有0 05x 0 005x2 10 即x2 10 x 2000 0 解得x 40或x 50 舍去 这表明乙车的车速超过40km h 超过规定限速 题后感悟 1 实际应用问题是新课标下考查的重点 突出了应用能力的考查 在不等式应用题中常以函数模型出现 如一元二次不等式应用题常以二次函数为模型 解题时要弄清题意 准确找出其中不等关系再利用不等式解法求解 2 解不等式应用题 一般可按如下四步进行 阅读理解 认真审题 把握问题中的关键量 找准不等关系 引进数学符号 用不等式表示不等关系 或表示成函数关系 解不等式 或求函数最值 回扣实际问题 3 国家为了加强对烟酒生产的宏观调控 实行征收附加税政策 现知某种酒每瓶70元 不加收附加税时 每年大约产销100万瓶 若政府征收附加税 每销售100元要征税r元 叫做税率r 则每年的销售将减少10r万瓶 要使每年在此项经营中所收附加税金不少于112万元 问r应怎样确定 解析 设产销量为每年x万瓶 则销售收入为每年70 x万元 从中征收的税金为70 x r 万元 其中x 100 10r 由题意 得70 100 10r r 112 整理 得r2 10r 16 0 36 0 方程r2 10r 16 0的两个实数根为x1 2 x2 8 然后画出二次函数y r2 10r 16的图像 由图像得不等式的解集为 r 2 r 8 答 当2 r 8时 每年在此项经营中所收附加税金不少于112万元 1 分式不等式与高次不等式的求解解不等式就是依据不等式性质和同解变形原理 求解原不等式的同解不等式 1 解高次不等式的基本思路是通过因式分解 把不等式的一边化成若干个一次 二次因式的积 另一边为零的形式 然后用数轴标根法去求解 其步骤是 以f x 0为例 将f x 的最高次项的系数化为正数 将f x 分解为若干个一次因式的积 将f x 0的根标在序轴 简化的数轴 上 从右上方依次通过每一点画曲线 从右至左的各个区间上f x 依次取 根据曲线显现出的f x 符号的变化规律 写出不等式的解集 由所有取正号的区间组成 2 分式不等式解法的基本思想是将其等价地转化为整式不等式 组 求解 应注意带等号的分式不等式转化时不要忽略分母不为零 其步骤为 2 分式不等式解法的基本思想是将其等价地转化为整式不等式 组 求解 应注意带等号的分式不等式转化时不要忽略分母不为零 其步骤为 结论3 若f x m对于x d恒成立 则f x min m 若f x m对于x d恒成立 则f