高等概率论读书报告.doc

高等概率论读书报告 MF1221021 王开凡 概率论自创立以来，已经从起初分析赌博中的问题发展成为现代数学的主流分支之一。现代概率论的研究方向和研究方法已经获得了极大发展，特别是近几十年，概率论和其他学科逐渐交叉结合，形成了一些新的学科分支和增长点，并且在科学研究和实际应用中都取得了突出成果。这些成果的取得，都源于概率论公理化体系的建立。1933年，克尔莫格罗夫提出的公理化体系已经成为目前为止得到最为广泛认可的概率论的理论基础，公理化体系的建立标志着概率论成为一门具有坚实逻辑基础的数学分支，它不仅让概率理论结构清晰、逻辑严密，并且让概率理论本身和与概率论相关的其他数学理论获得了实质性发展。因此研读概率论的发展史，尤其是其公理化的历史，对我们探索概率思想的发展变化及其未来的发展有重要意义。十九世纪概率论经过法国数学家拉普拉斯和泊松、德国数学家高斯、俄国数学家齐切比雪夫等人的进一步研究，积累了很多重要成果。遗憾的是，当时的概率论仍缺乏一些基本概念（如概率、随机事件、随机变量等）的清晰定义，由于没有严格的逻辑基础，一些悖论应运而生，其中最著名的的是法国数学家贝特朗给出的一个集合概率的悖论。悖论敲响了警钟，人们不得不重新审视概率论的数学基础。1900年，德国数学家希尔伯特在巴黎第二届国际数学家大会上作了题为数学问题的讲演，提出来23个指引二十世纪数学发展的重要问题，其中第六问题涉及概率论的公理化。1909年，法国数学家波莱尔首次把概率论与测度论结合起来，定义了可数事件集的概率。相对古典概率而言，这一工作拓展了对概率的认识；1917年，苏联数学家伯恩斯坦构建了概率论的第一公理体系；1919年，奥地利数学家米泽斯完成了概率的频率定义和统计定义的公理化，之后还相继出现了一些主观概率的公理体系。然而，所以这些工作都只是前奏，它们或欠缺合理性，或缺乏权威性。随着大数定律和极限理论的深入研究人们逐渐意识到概率论与测度论之间存在着深刻的联系，概率论公理化的曙光才真正来临。1933年，苏联数学家克尔莫格罗夫总结了前人的工作，在他的概率论基本概念中首次利用测度论构建了科学的概率论公理化体系。该体系为大部分数学家所接受，从此概率论为近代数学最重要的分支之一，并得到迅速的发展。概率论的发展历史一般分为四个时期：（1） 萌芽时期（1653年之前），以统计数据为主要手段，分析贸易、保险、赌博、占卜等人类实际生活领域中的一些问题。（2） 古典概率论时期（1654-1811年），用代数及组合方法为研究手段，以研究离散型随机变量为主。（3） 分析概率论时期（1812-1932），用微分方程、特征函数等分析方法为研究手段，以研究连续型随机变量为主。（4） 现代概率论时期（1933年至今），以集合论、测度论的思想方法为主要理论基础，研究方向呈现多元化。概率论发展各阶段的标志性著作是：（1） 惠更斯的论赌博中的计算。该书是历史上最早的概率论著作，它的出版被看做是概率论诞生的标志。（2） 拉普拉斯的分析概率论。该书对拉普拉斯之前的古典概率理论进行了系统完整的总结，并在概率推理中引入了当时已经发展起来的数学分析方法，使概率论进入了分析概率论时期，开创了概率论发展的新时期。（3） 克尔莫格罗夫的概率论基本概念。该书在历史上首次建立了科学的概率论公理化体系，为概率论奠定了坚实的理论基础，从而使其成为一门严格的数学分支，促进了概率论在二十世纪的迅速发展。20世纪30年代以来，因为概率论公理化体系的建立以及科学研究中的一些实际问题的推动，概率论得到了快速的发展，不断取得理论上的新突破。目前主要研究方向有极限理论、独立增量过程、马尔科夫过程、平稳过程和时间序列、鞅和随机微分方程、点过程等。（1） 极限理论极限理论主要研究与随机变量序列或随机过程序列的收敛性相关的问题。20世纪30年代以后，随机变量序列的极限理论（主要是中心极限定理）的研究，是将独立序列情形的结果推广到鞅差序列等情形，以及研究收敛速度问题。近年来，由于统计物理学的需要，人们开始研究强相依随机变量序列的非中心极限定理。自1951年唐斯克提出不变原理（随机过程的极限定理）后，有关随机过程序列的弱收敛的研究成了极限理论的中心课题，普罗霍洛夫及斯科罗霍德在这方面做出了最主要的贡献。1964年斯特拉森的工作出现后，引起了有关随机过程序列的强收敛的研究，这就是强不变原理。近年来，鞅论方法已渗透到这一领域，使许多经典结果的证明得到简化和统一处理，并且还导致了一些新的结果。（2） 独立增量过程人们最早知道的独立增量过程是在物理现象中观察到的布朗运动和泊松运动，一般的独立增量过程的研究，归功于莱维，它在20世纪40年代已臻成熟。在这些研究中，包含了许多重要的方法和概念，概率论的许多近代研究课题都直接或间接地受其启发与影响。（3） 马尔科夫过程在实际中遇到的很多随机现象有如下的共同特性：它的未来的演变，在已知它目前状态的条件下与以往的状况无关。描述这种随时间推进的随机现象的演变模型就是马尔科夫过程。20世纪50年代以前，研究马尔科夫过程的主要工具是微分方程和半群理论（即分析方法）。1936年前后就凯斯探讨马尔科夫过程的轨道性质，直到把微分方程和半群理论的分析方法同研究轨道性质的概率方法结合运用，才使这方面的研究工作进一步深化，并形成了对轨道分析必不可少的强马尔科夫性概念。1942年，伊藤用他创立的随机积分和随机微分方程理论来研究一类特殊而重要的马尔科夫过程扩散过程，开辟了研究马尔科夫过程的又一重要途径。近年来，鞅论方法也已渗透到马尔科夫过程的研究中，它与随机微分方法结合在一起，已成为目前除了多维扩散过程的工具。此外，马尔科夫过程与分析学中的位势论有密切的联系。对马尔科夫过程的研究，推动了位势理论的发展，并为研究偏微分方程提供了概率论的方法。近十多年发展起来的吉布斯机场和无穷粒子随机系统，是由于统计物理学的需要而提出的。（4） 平稳过程和时间序列许多自然的和生产过程中的随机现象表现出某种平稳性。一种平稳性是过程在任意一些时刻上的联合概率分布随时间推移不变，这种平稳性称为严平稳。严平稳过程的研究与遍历理论有密切的联系。如果上述对概率分布的要求放宽为仅对二阶相关矩的要求，即过程在任意两时刻上的协方差随时间推移不变，则称这种平稳性为宽平稳。关于宽平稳过程的研究，辛钦、柯尔莫哥洛夫和维纳等人运用傅里叶分析和泛函分析的工具，在40年代已经找出了过程的相关函数及过程本身的谱分解式，并且较完美地解决了有应用意义的预测问题。许多应用问题还要去根据观测数据去建立这些数据所来自的随机过程的模型。为此产生了时间序列分析这一课题，提出了宽平稳序列的自回归滑动平均模型以及一些非线性模型。（5） 鞅和随机微分方程鞅是另一类重要的随机过程。从20世纪30年代起，莱维等人就开始研究鞅序列，把它作为独立随机变量序列的部分和的推广。40年代到50年代初，杜布对鞅进行了系统的研究，得到有名的鞅不等式、停止定理和收敛定理等重要结果。1962年。P.A.迈耶解决了杜布提出的连续时间的上鞅分解为鞅及增长之差的问题。在解决这个问题的过程中，出现了很多新鲜而深刻的概念，式鞅和随机过程一般理论的内容大大丰富起来。鞅的研究丰富了概率论的内容，并引起人们用它所提供的新方法新概念对概率论中许多经典的内容重新审议，把以往认为是复杂的东西纳入鞅论的框架而更加简化。此外，利用上鞅的分解定理，可以把伊藤清的对布朗运动的随机积分方程的研究也随之发展。随机微分方程理论不仅可以用来研究马尔科夫过程，它还是解决滤波问题的必要工具。最近出现的流形上的随机微分方程又和微分几何及分析力学的研究发生了密切的联系。鞅论还对本学科以外的位势理论、调和分析及复变函数论等提供了有用单位工具。（6） 点过程点过程是从所谓计数过程发展出来的，它们的特点是，可用落在不相重叠的集合的随机点数的联合概率分布来刻画整个过程的概率规律。最基本的计数过程是泊松过程，1943年，C.帕尔姆将它作为最简单的输入流应用于研究电话业务问题；1955年，辛钦又以严密的数学观