高考数学总复习 第6单元第6节 数列的综合应用课件 文 苏教版.ppt

第六节数列的综合应用 基础梳理 1 解答数列应用题的基本步骤 1 审题 仔细阅读材料 认真理解题意 2 建模 将已知条件翻译成数学 数列 语言 将实际问题转化成数学问题 弄清该数列的特征 要求是什么 3 求解 求出该问题的数学解 4 还原 将所求结果还原到原实际问题中 2 数列应用题常见模型 1 等差模型 如果增加 或减少 的量是一个固定值 则该模型是等差模型 增加 或减少 的量就是公差 其一般形式是 an 1 an d 常数 3 混合模型 在一个问题中同时涉及等比数列和等差数列的模型 4 生长模型 如果某一个量 每一期以一个固定的百分数增加 或减少 同时又以一个固定的具体量增加 或减少 称该模型为生长模型 如分期付款问题 树木的生长与砍伐问题等 5 递推模型 如果容易推导该数列任意一项an与它的前一项an 1 或前n项 间的递推关系式 那么我们可以用递推数列的知识求解问题 基础达标 2 定义 等积数列 如果一个数列从第二项起 每一项与它前一项的积都等于同一个常数 那么这个数列就叫做等积数列 这个常数叫做等积数列的 公积 已知数列 an 是等积数列 且a1 2 公积为6 那么a2010 解析 由数列 an 是 等积数列 且a1 2 公积为6 得 a2 3 a3 2 a2n 1 2 a2n 3 所以a2010 3 3 把49个数排成7行7列的数表 若表中每行的7个数自左向右依次都成等差数列 每列的7个数自上而下也都成等差数列 且正中间的数a44 1 则表中所有数的和为 解析 设排在第i行第j列的数为aij 则由等差数列的性质得a11 a12 a17 7a14 a21 a22 a27 7a24 a71 a72 a77 7a74 所以所有数字和为7 a14 a24 a74 7 7a44 49 1 49 4 某屋顶的一个斜面成等腰梯形 最上面一行铺瓦片21片 下一行总是比上一行多铺2片瓦片 已知斜面上共铺了19行瓦片 试问 1 最下面一行铺了多少片瓦片 2 从上往下数 哪一行铺了39片瓦片 解析 1 根据题意 瓦片数组成等差数列 an 且a1 21 公差d 2 则由等差数列的通项公式得a19 a1 19 1 d 21 18 2 57 所以 斜面最下面一行的瓦片数为57片 2 因为an a1 n 1 d 21 2 n 1 2n 19 所以39 2n 19 得n 10 因此 第10行铺了39片瓦片 5 教材改编题 某小区现有住房的面积为a平方米 在改造过程中政府决定每年拆除b平方米旧住房 同时按当年住房面积的10 建设新住房 则n年后该小区的住房面积为 方法二 迭代法 an 1 1 an 1 b 1 1 1 1 an 2 b b 1 12an 2 b 1 1 1 1 13an 3 b 1 1 1 1 12 1 1na b 1 1 1 1 12 1 1n 1 1 1na 10 1 1n 1 b 经典例题 题型一建立等差或等比数列模型解应用题 例1 假设某市2008年新建住房400万平方米 其中有250万平方米是中低价房 预计在今后的若干年内 该市每年新建住房面积平均比上一年增长8 另外 每年新建住房中 中低价房的面积均比上一年增加50万平方米 那么到哪一年底 1 该市历年所建中低价房的累计面积 以2008年为累计的第一年 将首次不少于4750万平方米 2 当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85 参考数据 1 084 1 36 1 085 1 47 1 086 1 59 分析 1 转化为数列的有关问题 2 注意求和 解 1 设中低价房面积形成数列 an 由题意可知 an 是等差数列 其中a1 250 d 50 则sn 250n 50 25n2 225n 令25n2 225n 4750 即n2 9n 190 0 而n是正整数 n 10 到2017年底 该市历年所建中低价房的累计面积将首次不少于4750万平方米 2 设新建住房面积形成数列 bn 由题意可知 bn 是等比数列 其中b1 400 q 1 08 则bn 400 1 08 n 1 由题意可知an 0 85bn 有250 n 1 50 400 1 08 n 1 0 85当n 5时 a5 0 85b5 当n 6时 a6 0 85b6 满足上述不等式的最小正整数n为6 到2013年底 当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85 题型二数列与函数的综合应用 例2 已知数列 an 的前n项和sn 且 a 1 sn a an 1 a 0 n n 1 求证数列 an 是等比数列 并求an 2 已知集合a x x2 a a 1 x 问是否存在实数a 使得对于任意的n n 都有sn a 若存在 求出a的取值范围 若不存在 说明理由 a为公比的等比数列 an an 变式2 1 已知函数f x x2 ax b a b r 的图象经过坐标原点 且f 1 1 数列 an 的前n项和sn f n n n 1 求数列 an 的通项公式 2 若数列 bn 满足an log3n log3bn 求数列 bn 的前n项和 解析 1 f x 的图象过原点 b 0 f 1 1 2 1 a 1 即a 1 f x x2 x sn n2 n 当n 1时 an sn sn 1 n2 n n 1 2 n 1 2n 2 当n 1时 a1 0满足上式 an 2n 2 变式2 1 已知函数f x x2 ax b a b r 的图象经过坐标原点 且f 1 1 数列 an 的前n项和sn f n n n 1 求数列 an 的通项公式 2 若数列 bn 满足an log3n log3bn 求数列 bn 的前n项和 解析 1 f x 的图象过原点 b 0 f 1 1 2 1 a 1 即a 1 f x x2 x sn n2 n 当n 1时 an sn sn 1 n2 n n 1 2 n 1 2n 2 当n 1时 a1 0满足上式 an 2n 2 题型三等差数列和等比数列的综合应用 分析由已知条件运用sn与an之间的关系式 an 求出an与an 1之间的关系 以及与之间的关系 再进行判定 变式3 1 bn 1 an 2 an 1 1 bn 是以 为首项 为公比的等比数列 链接高考 an 2010 四川 已知数列 an 满足a1 0 a2 2 且对任意m n n 都有a2m 1 a2n 1 2am n 1 2 m n 2 1 求a3 a5 2 设bn a2n 1 a2n 1 n n 证明 bn 是等差数列 3 设cn an 1 an qn 1 q 0 n n 求数列 cn 的前n项和sn 知识准备 1 会用等差数列的定义证明一个数列为等差数列 并能根据通项公式写出该等差数列的通项公式 2 能用推导等比数列求和公式的思想方法 错位相减法 求数列 cn 的前n项和 3 注意对q分类讨论 1 由题意 m 2 n 1 可得a3 2a2 a1 2 6 再令m 3 n 1 可得a5 2a3 a1 8 20 2 当n n 时 令m n 2由已知可得a2n 3 a2n 1 2a2n 1 8 于是 a2 n 1 1 a2 n 1 1 a2n 1 a2n 1 8 即bn 1 bn 8 又b1 a3 a1 6 所以 bn 是首项为6 公差为8的等差数列 3 由 1 2 解答可知 bn 是首项为6 公差为8的等差数列 则bn 8n 2 即a2n 1 a2n 1 8n