考研曲线积分和曲面积分

第十章 积分学定积分二重积分三重积分 积分域区间域平面域空间域 曲线积分 曲线域 曲面域 曲线积分 曲面积分 对弧长的曲线积分 对坐标的曲线积分 对面积的曲面积分 对坐标的曲面积分 曲面积分 曲线积分与曲面积分 第一节 一 对弧长的曲线积分的概念与性质 二 对弧长的曲线积分的计算法 机动目录上页下页返回结束 对弧长的曲线积分 第十章 内容小结 1 定义 2 性质 l曲线弧 的长度 机动目录上页下页返回结束 3 计算 对光滑曲线弧 对光滑曲线弧 对光滑曲线弧 机动目录上页下页返回结束 如果曲线L的方程为 则有 如果方程为极坐标形式 则 推广 设空间曲线弧的参数方程为 则 机动目录上页下页返回结束 其中L1是曲线L在x轴右侧的那一部分 关于y轴对称也有类似结论 对称性的应用 1 如果曲线关于x轴对称 函数f x y 关于y为奇偶函数 则 2 设f x y 在曲线连续 曲线L关于原点对称 函数f x y 关于 x y 为奇偶函数 则 其中L1是曲线L在右半平面或上半平面的那一部分 例1 计算 其中L为双纽线 解 在极坐标系下 它在第一象限部分为 利用对称性 得 机动目录上页下页返回结束 例2 计算 其中 为球面 解 化为参数方程 则 机动目录上页下页返回结束 思考与练习 已知椭圆 周长为a 求 提示 原式 利用对称性 机动目录上页下页返回结束 第二节 1 对坐标的曲线积分的概念与性质 2 对坐标的曲线积分的计算法 3 两类曲线积分之间的联系 机动目录上页下页返回结束 对坐标的曲线积分 第十章 1 定义 性质 1 L可分成k条有向光滑曲线弧 2 L 表示L的反向弧 对坐标的曲线积分必须注意积分弧段的方向 机动目录上页下页返回结束 2 计算 对有向光滑弧 对有向光滑弧 机动目录上页下页返回结束 3 两类曲线积分之间的联系 设有向光滑弧L以弧长为参数的参数方程为 已知L切向量的方向余弦为 则两类曲线积分有如下联系 机动目录上页下页返回结束 第三节 一 格林公式 二 平面上曲线积分与路径无关的等价条件 机动目录上页下页返回结束 格林公式及其应用 第十章 区域D分类 单连通区域 无 洞 区域 多连通区域 有 洞 区域 域D边界L的正向 域的内部靠左 定理1 设区域D是由分段光滑正向曲线L围成 则有 格林公式 函数 在D上具有连续一阶偏导数 一 格林公式 机动目录上页下页返回结束 二 平面上曲线积分与路径无关的等价条件 定理2 设D是单连通域 在D内 具有一阶连续偏导数 1 沿D中任意光滑闭曲线L 有 2 对D中任一分段光滑曲线L 曲线积分 3 4 在D内每一点都有 与路径无关 只与起止点有关 函数 则以下四个条件等价 在D内是某一函数 的全微分 即 机动目录上页下页返回结束 说明 根据定理2 若在某区域内 则 2 求曲线积分时 可利用格林公式简化计算 3 可用积分法求du Pdx Qdy在域D内的原函数 及动点 或 则原函数为 若积分路径不是闭曲线 可添加辅助线 取定点 1 计算曲线积分时 可选择方便的积分路径 定理2目录上页下页返回结束 真题研讨 第四节 一 对面积的曲面积分的概念与性质 二 对面积的曲面积分的计算法 机动目录上页下页返回结束 对面积的曲面积分 第十章 1 定义 2 计算 设 则 曲面的其他两种情况类似 注意利用球面坐标 柱面坐标 对称性 重心公式 简化计算的技巧 机动目录上页下页返回结束 对面积的曲面积分的概念 性质和计算 对称性的应用 例3 计算 其中 是球面 利用对称性可知 解 显然球心为 半径为 利用重心公式 机动目录上页下页返回结束 第五节 一 有向曲面及曲面元素的投影 二 对坐标的曲面积分的概念与性质 三 对坐标的曲面积分的计算法 四 两类曲面积分的联系 机动目录上页下页返回结束 对坐标的曲面积分 第十章 其方向用法向量指向 方向余弦 0为前侧 0为后侧 封闭曲面 0为右侧 0为左侧 0为上侧 0为下侧 外侧内侧 设 为有向曲面 侧的规定 指定了侧的曲面叫有向曲面 表示 其面元 在xoy面上的投影记为 的面积为 则规定 类似可规定 机动目录上页下页返回结束 引例中 流过有向曲面 的流体的流量为 称为Q在有向曲面 上对z x的曲面积分 称为R在有向曲面 上对x y的曲面积分 称为P在有向曲面 上对y z的曲面积分 若记 正侧的单位法向量为 令 则对坐标的曲面积分也常写成如下向量形式 机动目录上页下页返回结束 时 上侧取 下侧取 类似可考虑在yoz面及zox面上的二重积分转化公式 机动目录上页下页返回结束 若 则有 若 则有 前正后负 右正左负 机动目录上页下页返回结束 性质 联系 机动目录上页下页返回结束 例5 设S是球面 的外侧 计算 解 利用轮换对称性 有 机动目录上页下页返回结束 例6 计算曲面积分 其中 解 利用两类曲面积分的联系 有 原式 旋转抛物面 介于平面z 0 及z 2之间部分的下侧 机动目录上页下页返回结束 原式 机动目录上页下页返回结束 一 高斯 Gauss 公式 定理1 设空间闭区域 由分片光滑的闭曲 上有连续的一阶偏导数 函数P Q R在 面 所围成 的方向取外侧 则有 Gauss公式 高斯目录上页下页返回结束 1 高斯公式及其应用 公式 应用 1 计算曲面积分 非闭曲面时注意添加辅助面的技巧 2 推出闭曲面积分为零的充要条件 机动目录上页下页返回结束 例7 利用Gauss公式计算积分 其中 为锥面 解 作辅助面 取上侧 介于z 0及 z h之间部分的下侧 所围区域为 则 机动目录上页下页返回结束 利用重心公式 注意 机动目录上页下页返回结束 一 斯托克斯 Stokes 公式 定理1 设光滑曲面 的边界 是分段光滑曲线 斯托克斯公式 个空间域内具有连续一阶偏导数 的 侧与 的正向符合右手法则 在包含 在内的一 则有 简介目录上页下页返回结束 为便于记忆 斯托克斯公式还可写作 或用第一类曲面积分表示 定理1目录上页下页返回结束 例9 为柱面 与平面y z的交线 从z 轴正向看为顺时针 计算 解 设 为平面z y上被 所围椭圆域 且取下侧 利用斯托克斯公式得 则其法线方向余弦 公式目录上页下页返回结束 2 通量与散度 设向量场 P Q R 在域G内有一阶连续 偏导数 则 向量场通过有