《高考风向标》高考数学一轮复习 第十二章 第4讲 轨迹与方程精品课件 理.ppt

第4讲轨迹与方程 求轨迹方程的常用方法 1 直接法 直接利用条件建立x y之间的关系f x y 0 2 待定系数法 已知所求曲线的类型 求曲线方程 先根据条件设出所求曲线的方程 再由条件确定其待定系数 3 定义法 先根据条件得出动点的轨迹是某种已知曲线 再由曲线的定义直接写出动点的轨迹方程 4 代入转移法 动点p x y 依赖于另一动点q x0 y0 的变化而变化 并且q x0 y0 又在某已知曲线上 则可先用x y的代数式表示x0 y0 再将x0 y0代入已知曲线得要求的轨迹方程 5 参数法 当动点p x y 坐标之间的关系不易直接找到 也没有相关动点可用时 可考虑将x y均用一中间变量 参数 表示 得参数方程 再消去参数得普通方程 1 动圆m经过点a 3 0 且与直线l x 3相切 则动圆 圆心m的轨迹方程是 a a y2 12x b y2 6x c y2 3xd y2 24x c a 上半部分c 左半部分 b 下半部分d 右半部分 c 的中点m的轨迹方程是 a x 3 2 y2 4 b x 3 2 y2 1 c 2x 3 2 4y2 1 3 动点a在圆x2 y2 1上移动时 它与定点b 3 0 连线 y op oa 4 则点p的轨迹方程是 解析 设点m的坐标是 x y 点a的坐标是 x0 y0 由于点b的坐标是 3 0 且m是线段ab的中心 所以 x x0 32 y0 02 于是有x0 2x 3 y0 2y 4 已知两定点a 2 0 b 1 0 如果动点p满足 pa 2 pb 则点p的轨迹所包围的图形的面积等于 4 5 直角坐标平面xoy中 若定点a 1 2 与动点p x y 满足 x 2y 4 0 考点1 直接法求轨迹方程图12 4 2 例1 如图12 4 2 过点p 2 4 作互相垂直的直线l1 l2 若l1交x轴于a l2交y轴于b 求线段ab中点m的轨迹方程 解析 设点m的坐标为 x y m是线段ab的中点 a点的坐标为 2x 0 b点的坐标为 0 2y 即x 2y 5 0 线段ab中点m的轨迹方程为x 2y 5 0 1 考点2 定义法求轨迹方程 例2 一动圆与已知圆o1 x 3 2 y2 1外切 与圆o2 x 3 2 y2 81内切 试求动圆圆心的轨迹方程 故动圆圆心的轨迹方程为 x225 y216 解析 两定圆的圆心和半径分别为o1 3 0 r1 1 o2 3 0 r2 9 设动圆圆心为m x y 半径为r 则由题设条件可得 mo1 1 r mo2 9 r mo1 mo2 10 由椭圆的定义知 m在以o1 o2为焦点的椭圆上 且a 5 c 3 b2 a2 c2 25 9 16 互动探究 2 已知圆c1 x 3 2 y2 1和圆c2 x 3 2 y2 9 动圆m同时与圆c1及圆c2相外切 求动圆圆心m的轨迹方程 图12 4 3 解 如图12 4 3 设动圆m与圆c1及圆c2分别外切于点a和点b 根据两圆外切的充要条件 得 mc1 ac1 ma mc2 bc2 mb 1 求此双曲线的渐近线l1 l2的方程 2 若a b分别为l1 l2上的动点 且2 ab 5 f1f2 求线段ab的中点m的轨迹方程并说明轨迹是什么曲线 互动探究 3 如图12 4 4 已知p 4 0 是圆x2 y2 36内的一点 a b是圆上两动点 且满足 apb 90 求矩形apbq的顶点q的轨迹方程 图12 4 4 错源 利用参数法求轨迹方程时忽略了特殊情况例4 如图12 4 5 已知点c的坐标是 2 2 过点c的直线ca与x轴交于点a 过点c且与直线ca垂直的直线cb与y轴交于点b 设点m是线段ab的中点 求点m的轨迹方程 图12 4 5 消去参数k得到x y 2 0 x 1 点m 1 1 在直线x y 2 0上 综上所述 所求轨迹方程为x y 2 0 方法二 直接法 设m x y 依题意a点坐标为 2x 0 b点坐标为 0 2y 化简得x y 2 0 方法三 定义法 依题意 ma mc mo 即 mc mo 动点m是线段oc的中垂线 故由点 斜式方程得到 x y 2 0 互动探究 例5 矩形abcd的两条对角线相交于点m 2 0 ab边所在直线的方程为x 3y 6 0 点t 1 1 在ad边所在直线上 1 求ad边所在直线的方程 2 求矩形abcd外接圆的方程 3 若动圆p过点n 2 0 且与矩形abcd的外接圆外切 求动圆p的圆心的轨迹方程 解析 1 因为ab边所在直线的方程为x 3y 6 0 且 ad与ab垂直 所以直线ad的斜率为 3 又因为点t 1 1 在直线ad上 所以ad边所在直线的方程为y 1 3 x 1 即3x y 2 0 求曲线的轨迹方程常用的方法有直接法 定义法 代入法 1 直接法 直接法是将动点满足的几何条件或者等量关系 直接坐标化 列出等式化简即得动点轨迹方程 2 定义法 若动点轨迹的条件符合某一基本轨迹的定义 如椭圆 双曲线 抛物线 圆等 可用定义直接探求 3 相关点法 根据相关点所满足的方程 通过转换而求动 点的轨迹方程 的点 已知椭圆c的中心为直角坐标