矩阵乘积的逆(高等代数课件).ppt

一 可逆矩阵的概念 二 可逆矩阵的判定 求法 4 4矩阵的逆 三 逆矩阵的运算规律 四 矩阵方程 一 引例 一 可逆矩阵的概念 定义 设A为n级方阵 如果存在n级方阵B 使得 AB BA E 则称A为可逆矩阵 称B为A的逆矩阵 注 可逆矩阵A的逆矩阵是唯一的 记作 单位矩阵E可逆 且 可逆矩阵A的逆矩阵也是可逆矩阵 且 2 逆矩阵的唯一性 若方阵A可逆 则其逆矩阵唯一 证明 设B和C都是A的逆矩阵 则由定义 有AB BA E AC CA E 于是 B BE B AC BA C EC C 所以逆矩阵唯一 证毕 三 矩阵可逆的条件 现在的问题是 在什么条件下矩阵A是可逆 的 如果A可逆 怎样求A 1 为此先引入伴随 矩阵的概念 二 矩阵可逆的判定及逆矩阵的求法 定义 1 伴随矩阵 称为A的伴随矩阵 性质 余子式 矩阵 设是矩阵中元素的代数 证 由行列式按一行 列 展开公式 立即可得 同理 非退化的 且 证 若由 所以 A可逆 且 两边取行列式 得 2 定理 矩阵A可逆当且仅当 即A 得 反过来 若A可逆 则有 则A B皆为可逆矩阵 且 证 由定理知 A B皆为可逆矩阵 从而 再由 即有 3 推论 设A B为n级方阵 若 例1 判断矩阵A是否可逆 若可逆 求其逆 解 1 A可逆 再由 有 当时 A可逆 且由于 三 逆矩阵的运算规律 5 若A可逆 则亦可逆 且 6 若A可逆 则亦可逆 且 当时 定义 注 则有 设方阵A满足 证明 与皆可逆 并求其逆 例2 由 即 故A可逆 且 再由 得 即 证 得 五 克拉默法则的另一证法 利用矩阵的逆 可以给出克拉默法则的另一种 推导法 线性方程组 可以写成 AX B 6 如果 A 0 那么A可逆 用 X A 1B 代入 6 得恒等式A A 1B B 这就是说A 1B 是一解 如果 X C 是 6 的一个解 那么由 AC B 得 A 1 AC A 1B 即C A 1B 这就是说 解X A 1B是唯一的 用A 1的公式 4 代入 乘出来就是克拉默法则中给出的公式 四 矩阵方程 1 线性方程组 令 则 1 可看成矩阵方程 若A为可逆矩阵 则 矩阵方程 若A为可逆矩阵 则 2 推广 矩阵方程 若A为可逆矩阵 则 矩阵方程 若A B皆可逆 则 3 矩阵积的秩 证 令 又P可逆 由定理2 有 故 例3解矩阵方程 解 注 练习 可逆 且 例4解下列矩阵方程 AXB C其中 解由已知易得X A 1CB 1 下面求A和B的逆阵 所以 例5设n级矩阵A B A B均可逆 证明 A 1 B 1 1 A A B 1B B B A 1A 证将A 1 B 1表示成已知的可逆矩阵的乘积 A 1 B 1 A 1 E AB 1 A 1 BB 1 AB 1 A 1 B A B 1 由可逆矩阵的性质可知 A 1 B 1 1 A 1 A B B 1 1 B B A 1A 同理可证另一个等式也成立 例6设A为n级方阵 n 2 证明 A A n 1 证由于AA A A A E 所以 A A A n 4 下面分三种情形讨论 1 A 0 即A可逆 4 式两端除以 A 即 得 A A n 1 2 A 0 且A O 则A O 结论显然成 立 3 A 0