【学海导航】高三数学第一轮总复习 2.6 反函数课件.ppt

第二章 函数 2 6反函数 一 反函数的概念1 设函数y f x 的定义域为a 值域为c 由y f x 求出x y 如果对于c中每个y值 在a中都有唯一的值和它对应 那么x y 为以y为自变量的函数 叫做y f x 的反函数 记作x f 1 y 通常情况下 一般用x表示自变量 所以记作 2 反函数的定义域和值域分别是原函数的 和 y f 1 x 值域 定义域 二 反函数的求解步骤第一步从y f x 中求出x 第二步 第三步确定y f 1 x 的定义域 即原函数的 三 原函数与反函数图象间的关系1 原函数与其反函数的图象关于 对称 2 若点p a b 在y f x 的图象上 则点 在y f 1 x 的图象上 交换x y的位置 值域 直线y x b a 四 反函数的性质若y f x 的图象关于直线y x对称 则y f x 的反函数是 五 两个重要结论1 若y f x 存在反函数 x a y c 则f 1 f x f f 1 x 2 已知y f x 求f 1 a 可以利用11 从中求出x 即f 1 a 盘点指南 y f 1 x 值域 定义域 交换x y的位置 值域 直线y x b a 其自身 x x 11f x a 其自身 x x f x a 函数y 1 0 x 4 的反函数是 a y x 1 2 1 x 3 b y x 1 2 0 x 4 c y x2 1 1 x 3 d y x2 1 0 x 4 解 由y 1 0 x 4 得x y 1 2 且1 y 3 所以其反函数是y x 1 2 1 x 3 故选a a 若函数y f x 是函数y ax a 0 且a 1 的反函数 其图象经过点 a a 则f x a log2xb logxc d x2解 f x logax 代入 a a 解得a 所以f x logx 故选b b 函数的反函数为自身的条件是 a a 0 b 0b a 1 b rc a 1 b 1d a 1 b 0解 因为函数的反函数为自身 所以 则a 1 b 1 故选c c 1 求下列函数的反函数 1 f x x2 3x 2 x 1 2 f x 解 1 由y x2 3x 2 x 2 得 x 2 y 因为x 1 所以x 即x 题型1反函数的求法 又当x 1时 x x 2 所以y 0 故f 1 x x 0 2 当x 0 1 时 由y x2 1 得x 又0 x2 1 所以 1 y 0 当x 1 0 时 由y x2 得x 又0 x2 1 所以0 y 1 故f 1 x 点评 求反函数的解析式应注意两点 一是先把解析式看为自变量的方程 在定义域范围内求得自变量 二是须求得反函数的定义域 也可求原函数的值域 求下列函数的反函数 1 f x x2 2x 1 x 0 2 f x 1 1 x 0 解 1 由y x2 2x 1 x 1 2 2 得 x 1 2 y 2 因为x 0 所以x 1 即x 1 又当x 0时 x 1 1 故 x 1 2 1 则y 1 所以f 1 x 1 x 1 2 由y 1 得 1 y 所以1 x2 1 y 2 即x2 2y y2 因为 1 x 0 所以x 且y 0 1 所以f 1 x 0 x 1 2 已知函数f x y g x 的图象与y f 1 x 1 的图象关于直线y x对称 求g 的值 解法1 着力于寻求f 1 x 1 的解析式 由已知得f 1 x x 2 所以f 1 x 1 x 3 又由题设知g x 的反函数为f 1 x 1 所以g 1 x f 1 x 1 所以g 1 x 题型2互为反函数的函数图象间的关系 令g b 则g 1 b 所以由 得 解得b 1 所以g 1 解法2 利用正反函数值的转化 令g b 则g 1 b 又由题设知g x 的反函数为f 1 x 1 所以g 1 x f 1 x 1 所以由 得f 1 b 1 所以f b 1 所以b 1 0 即b 1 故得g 1 解法3 运用对复合函数的反函数的认知 由题设知f 1 x 1 的反函数为g x 又f 1 x 1 的反函数为f x 1 所以g x f x 1 所以g f 1 1 点评 互为反函数的两个函数的图象关于直线y x对称 即点 a b 如果在原函数的图象上 则点 b a 一定在它的反函数的图象上 设函数f x 已知其反函数y f 1 x 的图象关于点m 1 3 成中心对称 求实数a的值 解 f x 1 其对称中心为 a 1 1 因为f 1 x 的图象的对称中心m 1 3 所以f x 的图象的对称中心为 3 1 即a 1 3 故a 2 3 已知f x 是定义在r上的增函数 点a 1 1 和b 1 3 在它的图象上 f 1 x 是它的反函数 那么不等式 f 1 log2x 1的解集为 a 2 8 b 1 3 c 1 1 d 无法确定解 因为 f 1 log2x 1 所以 1 f 1 log2x 1 又因为f x 为r上的增函数 所以f 1 f f 1 log2x f 1 即1 log2x 3 得2 x 8 选a 题型3函数与其反函数的相互关系 点评 互为反函数的两个函数有着类似的性质 如单调性 奇偶性 原函数与它的反函数的增减性相同 原函数如果是奇函数 则它的反函数也是奇函数 设函数f x 已知f 1 x f x 求m的值 解 因为f 1 x f x 所以函数y f x 的图象关于直线y x对称 显然f 5 0 所以点a 5 0 在y f x 的图象上 从而点a 5 0 关于直线y x的对称点 0 5 也在y f x 的图象上 所以f 0 5 m 1 此时 f x 由y 得x 所以f 1 x f x 故m 1为所求 1 求函数的反函数大致分三个步骤进行 首先由y f x 解出x y 然后求出原函数f x 的值域 最后将x y互