【走向高考】高三数学一轮复习 65数列的综合应用课件 北师大版.ppt

考纲解读能在具体的问题情境中识别数列的等差关系或等比关系 并能用相关知识解决相应的问题 考向预测1 以递推关系为背景 考查数列的通项公式与前n项和公式 2 等差 等比交汇 考查数列的基本计算 3 数列与函数 不等式 解析几何交汇 考查数列的综合应用 4 以考查数列知识为主 同时考查 等价转化 变量代换 思想 知识梳理1 数列在实际生活中着广泛的应用 其解题的基本步骤 可用图表示如下 2 数列应用题常见模型 1 等差模型 如果增加 或减少 的量是一个固定量时 该模型是等差模型 增加 或减少 的量就是公差 2 等比模型 如果后一个量与前一个量的比是一个固定的数时 该模型是等比模型 这个固定的数就是公比 3 递推数列模型 如果题目中给出的前后两项之间的关系不固定 随项的变化而变化时 应考虑是an与an 1的递推关系 还是前n项和sn与sn 1之间的递推关系 3 数列与其他章节的综合题数列综合题 包括数列知识和指数函数 对数函数 不等式的知识综合起来 另外 数列知识在复数 三角函数 解析几何等部分也有广泛的应用 4 数列的探索性问题探索性问题是高考的热点 常在数列解答题中出现 探索性问题对分析问题 解决问题的能力有较高的要求 答案 c 解析 由递推公式可知a2 3a1 2 a3 a2 1 1 a4 3a3 3 a5 a4 1 2 a6 a5 1 1 可见 an 满足an 3 an n 2 故a2012 a2 1 答案 a 3 教材改编题 一个凸多边形 它的各内角度数成等差数列 最小角为60 公差为20 则这个多边形的边数是 a 3b 4c 5或9d 4或9 答案 b 4 有一种细菌和一种病毒 每个细菌在每秒钟杀死一个病毒的同时将自身分裂为2个 现在有一个这样的细菌和100个这样的病毒 问细菌将病毒全部杀死至少需要 a 6秒钟b 7秒钟c 8秒钟d 9秒钟 答案 b 解析 设至少需要n秒钟 则1 21 22 2n 1 100 5 2011 安徽合肥模拟 秋末冬初 流感盛行 某医院近30天每天入院治疗流感的人数依次构成数列 an 已知a1 1 a2 2 且an 2 an 1 1 n n n 则该医院30天入院治疗流感的人数共有 答案 255 6 设等差数列 an 的前n项和为sn s4 10 s5 15 则a4的最大值是 答案 4 7 某科研单位欲拿出一定的经费奖励科研人员第1名得全部资金的一半加一千元 第二名得剩下的一半加一千元 以名次类推都得到剩下的一半加一千元 到第10名恰好资金分完 求此科研单位共拿出多少千元资金进行奖励 解析 设单位共拿出x千元资金 第1名到第10名所得资金构成数列 an 前n项和为sn 则 证明 1 由 3 m sn 2man m 3 得 3 m sn 1 2man 1 m 3 两式相减 得 3 m an 1 2man m 3 2011 广东深圳调研 设数列 an 的前n项和为sn 其中an 0 a1为常数 且 a1 sn an 1成等差数列 1 求 an 的通项公式 2 设bn 1 sn 问是否存在a1 使数列 bn 为等比数列 若存在 则求出a1的值 若不存在 请说明理由 方法二 设数列 bn 能为等比数列 则b1 b2 b3成等比数列 b22 b1 b3 sn a1 a2 an an a1 3n 1 bn 1 sn b2 1 4a1 b1 1 a1 b3 1 13a1 1 4a1 2 1 a1 1 13a1 又an 0 得a1 2 此时bn 1 sn 3n bn 是首项为3 公比为3的等比数列 bn 能为等比数列 此时a1 2 例2 在一直线上共插有13面小旗 相邻两面之距离为10m 在第一面小旗处有某人要把小旗全部集中到一面小旗的位置上 每次只能拿一面小旗 要使他走的路最短 应集中到哪一面小旗的位置上 最短路程是多少 分析 考查实践能力 即将实际问题转化为数学问题的能力 要求走的路最短 需先求路程的表达式 这就要设出把小旗集中到哪一面处 设为第x面处 从第一面到第x面走了10 x 1 回到第二面再到第x面走了20 x 2 第x面到第x 1面 再回到第x面起了20米 以下走了20 2 20 13 x 从而求出路程 求路程的最小值就转化为求f x 的最小值问题 解析 如图设将旗集中到第x面小旗处 则从第一面旗到第x面旗处 共走路程为10 x 1 然后回第二面处再到第x面处是20 x 2 从第x面处到第 x 1 面处的路程为20 从第x面处到第 x 2 面取旗再到第x面处 路程为20 2 答 将旗集中以第7面小旗处 所走路程最短为780m 点评 本题属等差数列应用问题 应用等差数列前n项和求和公式 在求和后 利用二次函数求最短路程 例3 某汽车销售公司为促销采取了较为灵活的付款方式 对购买10万元一辆的轿车在一年内将款全部付清的前提下 可以选择以下两种分期付款的方案购车 方案1 分3次付清 购买后4个月第1次付款 再过4个月第2次付款 再过4个月第3次付款 方案2 分12次付清 购买后1个月第1次付款 再过1个月第2次付款 购买后12个月第12次付款 规定分期付款中每期付款额相同 月利率为0 8 每月利息按复利计算 即指上月利息要计入下月的本金 1 试比较以上两种方案的哪一种方案付款总额较少 2 若汽车销售公司将收回的售车款进行再投资 可获月增长2 的收益 为此对一次性付款给予降价p 的优惠 为保证一次性付款经一年后的本金低于方案1和方案2中较少一种的付款总额 且售车款再投资一年后的本金要高于车价款一年的本金 试确定p的取值范围 注 计算结果保留三位有效数字 参考数据 1 0083 1 024 1 0084 1 033 1 00811 1 092 1 00812 1 1 1 0211 1 243 1 0212 1 268 分析 考查实践能力 创新意识以及运算求解能力 1 本题是计复利问题不论方案1 还是方案2 都是等比数列求和问题 关键利用求和列等式求出每次付款多少 2 更加综合 须列有关不等关系式 解析 1 对于方案1 设每次付款额为x1万元 那么一年后 第一次付款的本金为1 0088x1万元 第2次付款的本金为1 0084x1万元 第3次付款的本金为x1万元 则1 0088x1 1 0084x1 x1 10 1 00812 解得x1 3 63 万元 付款总额为3 3 63 10 89 万元 对方案2 设每次付款为x2万元 那一年后 第一次付款的本金为1 00811x2万元 第2次付款的本金为1 00810 x2万元 第12次付款的本金为x2万元 则1 00811x2 1 00810 x2 1 008x2 x2 10 1 00812 解得x2 0 88 万元 付款总额为12 0 88 10 56 万元 显然 第二种方案付款总额较少 点评 复利计算是一种等比数列的模型 本题两种方案的复利计算公比不同 运算要求也很高 本题虽然主要考查的是数列知识 但综合程度很大 和不等式计算融合在一起 难度就随之增大 南方某林场有荒山3250亩 从2008年1月开始在该荒山上植树造林 且保证每年种树全部成活 第一年植树100亩 此后每年都比上一年多植树50亩 1 问至少需几年才可将此荒山全部绿化 2 如果新种树苗每亩的木材量为2立方米 树木每年的自然增材率为10 那么到此荒山全部绿化后的那一年底 这里树木的木材量总共为多少立方米 1 111 2 9 2 10年中 从第一年起各年所种树苗的木材量 单位 立方米 分别为2 100 2 100 50 2 100 50 2 2 100 50 9 它们成等差数列 200 300 400 1100 所求木总量为s 200 1 110 300 1 19 400 1 18 1000 1 12 1100 1 1 1 1s 200 1 111 300 1 110 400 1 19 1000 1 13 1100 1 12 例4 已知f x logax a 0且a 1 设f a1 f a2 f an n n 是首项为4 公差为2的等差数列 1 设a为常数 求证 an 成等比数列 2 若bn anf an bn 的前n项和是sn 当a 时 求sn 分析 利用函数的有关知识得出an的表达式 再利用表达式解决其他问题 点评 数列与函数的综合问题主要有以下两类 已知函数条件 解决数列问题 此类问题一般利用函数的性质 图像研究数列问题 已知数列条件 解决函数问题 解决此类问题一般要充分利用数列的范围 公式 求和方法对式子化简变形 2 b1 b2 bn an 当n 2时 bn an an 1 4n2 4 n 1 2 8n 4 当n 1时 b1 a1 4 满足上式 bn 8n 4 an bn 4n2 8n 4 4 n 1 2 0 an bn 点评 第 2 问可由b1 b2 bn an得 an bn an 1 4 n 1 2 0 an bn简捷明了 注意观察分析常能起到事半功倍的效果 例5 2011 山东模拟 设曲线y x2 x 2 lnx在x 1处的切线为l 数列 an 的首项a1 m 其中常数m为正奇数 且对任意n n 点 n 1 an 1 an a1 均在直线l上 1 求出 an 的通项公式 2 令bn nan n n 当an a5恒成立时 求出n的取值范围 使得bn 1 bn成立 分析 问题 1 可先利用求导公式求得直线的斜率 进而求出直线方程 利用累加法即求得数列的通项公式 问题 2 是恒成立问题 可转化为数列的单调性问题进而求得数列的最小值 即y 2x 2 又点 n 1 an 1 an a1 在l上 an 1 an m 2n 即an 1 an 2n m n n a2 a1 2 m a3 a2 2 2 m an an 1 2 n 1 m 各项相加 得 点评 本题把数列 导数 解析几何等知识巧妙地融合在一起 具有较强的综合性 在解决数列知识与其他章节知识的综合题时 要注意思维角度与解题途径的选择 提高数学变形转换 推理等综合能力 1 数列的渗透力很强 它和函数 方程 三角 不等式等知识相互联系 优化组合 无形中加大了综合力度 所以 解决此类题目仅靠掌握一点单项知识点 无异于杯水车薪 必须对蕴藏在数列概念和方法中的数学思想有所了解 深刻领悟它在解题中的重大作用 常用