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第讲 7 二次函数 第二课时 第二章函数 题型四 二次方程实根的分布1 方程x2 2ax 4 0的两根均大于1 求实数a的取值范围 设f x x2 2ax 4 由于方程x2 2ax 4 0的两根均大于1 因此 据二次函数图象应满足 0f 1 0 解得故实数a的取值范围是 点评 一元二次方程根的分布中的参数的取值范围问题 一般先构造对应的二次函数 借助二次函数的图象 对三要素 即判别式 二次函数的对称轴 根分布区间的端点值 的符号进行分析判断 得到相应的不等式组 通过解不等式组便可求得参数的取值 范围 若关于x的方程2ax2 x 1 0在区间 0 1 内恰有一解 则实数a的取值范围是 a 0 1 b 1 1 c 1 d 1 设f x 2ax2 x 1 则f 0 1 因为方程f x 0在区间 0 1 内恰有一解 所以f 1 0 即2a 2 0 所以a 1 故选c 答案 c 题型五 二次函数中的证明问题2 已知a r f x ax2 x a 1 x 1 1 若f x 的最大值为求实数a的值 2 若 a 1 求证 1 当a 0时 f x x 则 f x max xmax 1 当a 0时 二次函数f x 在闭区间 1 1 上的最大值只能在端点或顶点处取得 因为f 1 1 f 1 1 所以f x 的最大值为只能在顶点取得 故a 0 1 12a 1解得a 2 2 证明 f x a x2 1 x a x2 1 x x2 1 x x 2 x 1 点评 解决与二次函数有关的代数证明 可以从两个方面入手 一是三个二次的关系式的相互联系及相互转化 利用函数思想解决有关不等关系或相等关系 二是利用二次函数的图象特征 结合数形结合思想实现数与形的转化 设函数f x x2 2bx c c b 1 f 1 0 且方程f x 1 0有实根 1 证明 3 c 1且b 0 2 若m是方程f x 1 0的一个实根 判断f m 4 的正负并加以证明 1 证明 f 1 0 1 2b c 0 又c b 1 故得因为方程f x 1 0有实根 即x2 2bx c 1 0有实根 故 4b2 4 c 1 0 即 c 1 2 4 c 1 0 解得c 3或c 1 所以 3 c 1 由知b 0 2 因为f x x2 2bx c x2 c 1 x c x c x 1 f m 1 0 所以c m 1 所以c 4 m 4 3 c 所以f m 4 m 4 c m 4 1 0 所以f m 4 的符号为正 二次函数 一元二次方程和一元
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