【学海导航】湖南省高三数学总复习一轮 第6单元第34讲 等差、等比数列的性质及综合应用精品课件 理 新课标.ppt

2 第34讲等差 等比数列的性质及综合应用 3 掌握等差 等比数列的基本性质 如 成对 和或积相等问题 等差数列求和s2n 1与中项an 能灵活运用性质解决有关问题 如分组求和技巧 整体运算 总之 等差数列考性质 等比数列考定义 4 a 4b 3c 2d 1 c 解析 5 b 解析 6 b 解析 7 20 解析 8 5 已知数列 an bn 分别为等差 等比数列 且a1 b1 0 a3 b3 b1 b3 则一定有a2b2 a5b5 填 方法一 由中项性质和等比数列性质知b1 0 b3 0 又b1 b3 a2 b2 故a2 b2 同理 a5 2a3 a1 b5 所以b5 a5 2b3 b1 0 即b5 a5 解析 9 方法二 通项与函数关系 因为an dn a1 d 为关于n的一次函数 bn a1 qn 1 qn为关于n的类指数函数 当d 0 如图1 当db2 a5 b5 10 1 等差数列的性质 1 当公差d 0时 等差数列的通项公式an a1 n 1 d dn a1 d是关于n的一次函数 且斜率为公差d 前n项和sn na1 n2 a1 n是关于n的二次函数 且常数项为0 2 若公差 则为递增等差数列 若公差 则为递减等差数列 若公差 则为常数列 d 0 d 0 d 0 11 3 当m n p q时 则有 特别地 当m n 2p时 则有am an 2ap 4 若 an 是等差数列 则 kan k是非零常数 sn s2n sn s3n s2n 也成等差数列 而 aan a 0 成等比数列 若 an 是等比数列 且an 0 则 lgan 是等差数列 5 在等差数列 an 中 当项数为偶数2n时 s偶 s奇 项数为奇数2n 1时 s奇 s偶 s2n 1 2n 1 a中 这里a中即an s奇 s偶 k 1 k am an ap aq nd a中 12 6 若等差数列 an bn 的前n项和分别为an bn 且 f n 则 f 2n 1 7 首正 的递减等差数列中 前n项和的最大值是所有 之和 首负 的递增等差数列中 前n项和的最小值是所有 之和 8 如果两等差数列有公共项 那么由它们的公共项顺次组成的新数列也是等差数列 且新等差数列的公差是原两等差数列公差的最小公倍数 非负项 非正项 13 2 等比数列的性质 1 若数列是等比数列当m n p q时 则有 特别地 当m n 2p时 则有am an ap2 2 若 an 是等比数列 则 kan 成等比数列 若 an bn 成等比数列 则 anbn 成等比数列 若 an 是等比数列 且公比q 1 则数列sn s2n sn s3n s2n 是 数列 当q 1 且n为偶数时 数列sn s2n sn s3n s2n 是常数数列0 它不是等比数列 am an ap aq 等比 14 3 若a1 0 q 1 则 an 为数列 若a11 则 an 为数列 若a1 0 0 q 1 则 an 为递减数列 若a1 0 0 q 1 则 an 为递增数列 若q 0 则 an 为摆动数列 若q 1 则 an 为数列 4 当q 时 sn qn aqn b 这里a b 0 但a 0 b 0 这是等比数列前n项和公式的一个特征 据此很容易根据sn判断数列 an 是否为等比数列 递增 递减 常 15 5 sm n sm qmsn sn qnsm 6 在等比数列 an 中 当项数为偶数2n时 s偶 项数为奇数2n 1时 s奇 a1 qs偶 7 如果数列 an 既成等差数列又成等比数列 那么数列 an 是非零常数数列 故常数数列 an 仅是此数列既成等差数列又成等比数列的必要非充分条件 qs奇 16 1 已知数列 n 为等差数列 且 1 8 15 2 则tan 2 14 的值是 a b c d a 题型一 成对下标和 性质 例1 17 2 2009 广东卷 已知等比数列 an 满足an 0 n 1 2 且a5 a2n 5 22n n 3 则当n 1时 log2a1 log2a3 log2a2n 1 a n 2n 1 b n 1 2c n2d n 1 2 1 因为 1 8 15 2 且 n 成等差数列 则 1 15 2 8 故 8 于是tan 2 14 tan2 8 tan c 解析 18 2 因为a5 a2n 5 22n n 3 且 an 成等比数列 则a1 a2n 1 a3 a2n 3 a5 a2n 5 22n an2 令s log2a1 log2a3 log2a2n 1 则s log2a2n 1 log2a3 log2a1 所以2s log2 a1 a2n 1 a3 a2n 3 a2n 3 a3 a2n 1 a1 log2 22n n 所以2s 2n n 所以s n2 19 本题是等差 等比的求值题 难点是找条件和目标之间的对应关系 解题时 根据等差 等比数列的 成对下标和 性质 列出方程或多个恒等式是解题的关键 一般的 对于涉及等差 等比数列的通项公式的条件求值题 合理利用通项或相关性质进行化归是基本方法 评析 20 2010 湖北省模拟 设数列 an bn 都是正项等比数列 sn tn分别为数列 lgan 与 lgbn 的前n项和 且 则logb5a5 由题知 logb5a5 logb5a5 素材1 解析 21 1 等差数列 an 中 a9 a10 a a19 a20 b 求a99 a100 2 在等比数列 an 中 若a1 a2 a3 a4 1 a13 a14 a15 a16 8 求a41 a42 a43 a44 题型二部分 和 积 与整体性质 例2 22 1 将相邻两项和a1 a2 a3 a4 a5 a6 a99 a100分别记为b1 b2 b3 b50 可知 bn 成等差数列 此数列的公差d a99 a100 b50 b5 45 d a 45 9b 8a 解析 23 2 方法一 a1 a2 a3 a4 a1 a1q a1q2 a1q3 a14 q6 1 a13 a14 a15 a16 a1q12 a1q13 a1q14 a1q15 a14 q54 8 得 q48 8 q16 2 又a41 a42 a43 a44 a1q40 a1q41 a1q42 a1q43 a14q166 a14 q6 q160 a14q6 q16 10 1 210 1024 24 方法二 由性质可知 依次 项的积为等比数列 设公比为q t1 a1 a2 a3 a4 1 t4 a13 a14 a15 a16 8 所以t4 t1 q3 1 q3 8 q 2 所以t11 a41 a42 a43 a44 t1 q10 1024 巧用性质 减少运算 在有关等差 等比数列的计算中非常重要 如 2 小题巧用性质 构造一个新的等差或等比数列求解 评析 25 素材2 b 解析 26 题型三平面向量的基本概念 线性运算及简单性质 例3 分析 27 解析 28 评析 29 素材3 解析 30 31 解析 32 33 1 知三求二 在等差 比 数列中 a1 d q n an sn共五个量中知道其中任意三个 就可以求出其他两个 解这类问题时 一般是