【走向高考】高三数学一轮复习 47正弦定理和余弦定理课件 北师大版.ppt

考纲解读掌握正弦定理 余弦定理 并能解决一些简单的三角形度量问题 考向预测1 利用正弦定理 余弦定理进行边角转化 进而进行恒等变形解决问题 2 与三角形有关的问题在考查正弦定理 余弦定理和面积公式的同时 考查三角恒等变形 这是高考的热点 3 三种题型均有可能出现 属中低档题目 知识梳理1 正弦定理和余弦定理 2 解三角形的类型在 abc中 已知a b和a时 解的情况如下 3 解三角形的常见类型及解法在三角形的6个元素中要已知三个 除三角外 才能求解 常见类型及其解法如表所示 基础自测1 2010 湖北理 在 abc中 a 15 b 10 a 60 则cosb 答案 d 2 2009 福建文 已知锐角 abc的面积为3 bc 4 ca 3 则角c的大小为 a 75 b 60 c 45 d 30 答案 b 解析 本小题主要考查三角形面积公式 三角函数等基础知识 答案 a a a bb a bc a bd a与b的大小关系不能确定 答案 a 解析 本题考查余弦定理的应用以及三角形边的大小的判定 6 在 abc中 若sinc 2cosasinb 则此三角形是 三角形 答案 等腰 解析 由sinc 2cosasinb 得sin a b 2cosasinb 即sinacosb cosasinb 2cosasinb 即sinacosb cosasinb 0 所以sin a b 0 又因为 a b 所以a b 0 即a b 解析 a b c成等比数列 b2 ac 又 a2 c2 ac bc b2 c2 a2 bc 在 abc中 由余弦定理得 分析 已知两边和其中一边的对角解三角形问题 可运用正弦定理来求解 但应注意解的情况 或借助余弦定理 先求出边c后 再求出角c与角a 点评 应熟练掌握正 余弦定理及其变形 解三角形时 有时可用正弦定理 也可用余弦定理 应注意用哪一个定理更方便 简捷 已知在 abc中 a 7 b 3 c 5 求三角形中的最大角及角c的正弦值 解析 a c b 角a为最大角 例2 在 abc中 a 60 b 1 其面积为 则 abc外接圆的直径是 分析 三角形外接圆直径是和正弦定理联系在一起的 已经知道了a 60 只要再能求出边a 问题就解决了 结合已知条件求边a是解决问题的关键 例3 在 abc中 acosa bcosb ccosc 试判断三角形的形状 分析 判定三角形的类型 一般是从题设条件出发 依正弦定理 余弦定理和面积公式 运用三角函数式或代数式的恒等变形导出角或边的某种特殊关系 从而判定三角形的类型 则a ksina b ksinb c ksinc代入已知条件得ksinacosa ksinbcosb ksinccosc 即sinacosa sinbcosb sinccosc 根据二倍角公式得sin2a sin2b sin2c sin a b a b sin a b a b 2sinccosc 2sin a b cos a b 2sinccosc a b c a b c sin a b sinc 0 cos a b cosc cos a b cos a b 0 2cosacosb 0 cosa 0或cosb 0 即a 90 或b 90 abc是直角三角形 方法二 由余弦定理知 化简得a2 b2 c2 a2 b2 a2 c2 b2 c2 c2 a2 b2 0 展开整理得 a2 b2 2 c4 a2 b2 c2 即a2 b2 c2或b2 a2 c2 根据勾股定理知 abc是直角三角形 abc中 a2tanb b2tana 判断三角形的形状是 a 等腰三角形b 直角三角形c 等腰三角形或直角三角形d 等腰直角三角形 答案 c 解析 由正弦定理得sin2atanb sin2btana sinacosa sinbcosb 即sin2a sin2b 又因为a b 0 所以a b或a b 90 例4 abc中 角a b c的对边分别为a b c且b2 c2 a2 bc 0 1 求角a的大小 分析 1 由b2 c2 a2 bc 0的结构形式 可联想余弦定理 求出cosa 进而求出a的值 1 在利用正弦定理解决已知三角形的两边和其中一边的对角解三角形问题时 可能出现一解 两解或无解情况 应结合图形并根据 三角形中大边对大角 来判断解的情况 作出正确取舍 2 在判断三角形的形状时 一般将已知条件中的边角关系利用正弦定理或余弦定理转化为角角的关系或边边的关系 再用三角变换或代数式的恒等变形 如因式分解 配方等 求解 注意等式两边的公因式不要约掉 要移项提取公因式 否则会有漏掉一种形状的可能 3 一般地 由sin sin 但在 abc中 sina sinb a b 4 判断三角形形状的方法根据所给条件确定三角形的形状 主要有两条途径 1 化边为角 2 化角为边 具体有如下四种方法 通过正弦定理实施边