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中国人民大学附属中学 7 6双曲线 1 双曲线的定义平面内到两个定点f1 f2的距离差的绝对值等于定长2a的动点p的轨迹叫做双曲线 即 p pf1 pf2 2a 2a f1f2 2 双曲线的标准方程和性质 范围 从标准方程 看出曲线在坐标系中的范围 双曲线在两条直线x a的外侧 即 x a 即双曲线在两条直线x a的外侧 对称性 双曲线关于每个坐标轴和原点都是对称的 这时 坐标轴是双曲线的对称轴 原点是双曲线的对称中心 双曲线的对称中心叫做双曲线的中心 顶点 双曲线和x轴有两个交点a1 a 0 a2 a 0 它们是双曲线的顶点 渐近线 直线称为双曲线的渐近线 从图上看 双曲线的各支向外延伸时 与这两条直线逐渐接近 离心率 等轴双曲线定义 实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线 即x2 y2 等轴双曲线的性质 1 渐近线方程为y x 2 渐近线互相垂直 例1 1 已知焦点f1 5 0 f2 5 0 双曲线上的一点p到f1 f2的距离差的绝对值等于6 求双曲线的标准方程 2 求与椭圆共焦点且过点的双曲线的方程 3 已知双曲线的焦点在y轴上 并且双曲线上两点坐标分别为 求双曲线的标准方程 例2 已知双曲线中心在原点 一个顶点的坐标为 3 0 且焦距与虚轴长之比为5 4 则双曲线的标准方程是 例3 设f1和f2为双曲线的两个焦点 若f1 f2 p 0 2b 是正三角形的三个顶点 则双曲线的离心率为 a b 2c d 3 b 例4 abc中 固定底边bc 让顶点a移动 已知 bc 4 且sinc sinb sina 求顶点a的轨迹方程 例5 矩形abcd的两条对角线相交于点m 2 0 ab边所在直线的方程为x 3y 6 0 点t 1 1 在边ad所在直线上 i 求边ad所在直线的方程 ii 求矩形abcd外接圆的方程 iii 若动圆p过点n 2 0 且与矩形abcd的外接圆外切 求动圆p的圆心的轨迹方程 3x y 2 0 解 i 因为边ab所在直线的方程为x 3y 6 0 且ad与ab垂直 所以直线ad的斜率为 3 又因为点t 1 1 在直线ad上 所以边ad所在直线的方程为y 1 3 x 1 即3x y 2 0 ii 由解得点a的坐标为 0 2 因为矩形abcd两条对角线的交点为m 2 0 所以m为矩形abcd外接圆的圆心 又从而矩形外接圆的方程为 x 2 2 y2 8 例6 已知椭圆与双曲线有公共焦点f1和f2 设p点为两曲线的一个交点 1 试用b n表示 pf1f2的面积 2 当b n t t 0 t为常数 时 求 pf1f2面积的最大值 例7 已知双曲线c b是右顶点 f是右焦点 点a在x轴正半轴上 且满足成等比数列 过f作双曲线c在第一 三象限
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