【学海导航】高三数学第一轮总复习 3.3 等比数列课件（1）.ppt

第三章 数列 3 3等比数列 一 等比数列的判定与证明方法1 定义法 2 等比中项法 3 通项公式法 二 等比数列的通项公式1 原形结构式 an 2 变形结构式 an am n m 常数 n n an2 an 1 an 1 n 2 n n n n a1 qn 1 n n qn m 三 等比数列的前n项和公式若等比数列 an 的首项为a1 公比为q 则sn 四 等比数列的常用性质1 等比数列 an 中 m n p q n 若m n p q 则am an ap aq 填 2 等比数列 an 中 sn为其前n项和 q为公比 当n为偶数时 s偶 s奇 3 公比不为1的等比数列 an 中 sk s2k sk s3k s2k 五 若a c同号 则a c的等比中项为11 六 等比数列中的解题技巧与经验1 若 an 是等比数列 且an 0 n n 则 logaan 是12 数列 反之亦然 q 成等比数列 等差数列 2 三个数成等比数列可设这三个数为13 四个正数成等比数列可设这四个数为14 盘点指南 常数 n n an2 an 1 an 1 n 2 n n n n a1 qn 1 n n qn m q 成等比数列 11 12等差数列 13 a aq 14 aq aq3 a aq aq aq3 c 2 已知等比数列 an 的公比为正数 且a3 a9 2a52 a2 1 则a1 解 设公比为q 由已知得a1q2 a1q8 2 a1q4 2 故q2 2 又因为等比数列 an 的公比为正数 所以故故选b b 3 已知 an 是等比数列 a2 2 a5 则a1a2 a2a3 anan 1 a 16 1 4 n b 6 1 2 n c 1 4 n d 1 2 n 解 设数列 an 的公比为q 由 an 是等比数列 知 anan 1 也是等比数列且公比为q2 又a2 2 a5 所以a5a2 q3 所以q 则a1 4 所以a1a2 a2a3 anan 1 1 4 n 故选c c 1 已知等比数列 an 中 a1 an 66 a2an 1 128 sn 126 求项数n和公比q的值 解 因为 an 是等比数列 所以a1 an a2 an 1 所以解得或若a1 2 an 64 则2 qn 1 64 所以qn 32q 题型1a1 q n sn an中 知三求二 第一课时 由解得q 2 于是n 6 若a1 64 an 2 则64 qn 1 2 所以qn q 由解得q n 6 点评 首项和公比是等比数列中的两个基本量 求这两个基本量的方法一是利用方程的思想得基本量的方程 组 然后求解即可 二是利用求q 利用an amqn m求通项公式 在等比数列 an 中 a3 a1 8 a6 a4 216 sn 40 求公比q a1及n 解 显然公比q 1 由已知可得 解得 2 1 已知数列 cn 其中cn 2n 3n 且数列 cn 1 pcn 为等比数列 求常数p 2 证明 1 中数列 cn 不是等比数列 解 1 解法1 因为cn 1 pcn是等比数列 故有 cn 1 pcn 2 cn 2 pcn 1 cn pcn 1 将cn 2n 3n代入上式 得 2n 1 3n 1 p 2n 3n 2 2n 2 3n 2 p 2n 1 3n 1 2n 3n p 2n 1 3n 1 题型2等比数列中的证明问题 即 2 p 2n 3 p 3n 2 2 p 2n 1 3 p 3n 1 2 p 2n 1 3 p 3n 1 整理得 2 p 3 p 2n 3n 0 解得p 2或p 3 解法2 因为 cn 1 pcn 是等比数列 故存在非零常数q使得对n 2都成立 将cn 2n 3n代入化简得 4 2p 2q pq 2n 1 9 3p 3q pq 3n 1 0 所以解得p 3或p 2 解法3 cn 1 pcn 2n 1 3n 1 p 2n p 3n 故c2 pc1 13 5p c3 pc2 35 13p c4 pc3 97 35p 由题意可知 35 13p 2 13 5p 97 35p 解得p 3或p 2 当p 2时 cn 1 pcn 3n 符合题意 当p 3时 cn 1 pcn 2n 也符合题意 从而p 3或p 2 2 要证 cn 不是等比数列只需证c22 c1 c3 事实上 c22 22 32 2 169 c1 c3 2 3 23 33 175 因此 c22 c1 c3 故 cn 不是等比数列 点评 判断一个数列是等比数列或处理相关问题 基本解法是定义法和等比中项法 如 1 中的解法1和解法2 解法3用了特殊值探路 一般化证明的思路 符合人们认识问题的一般规律 也是一种一般解法 2 中否定一个命题只需要举一个反例就够了 若在证明过程中采用否定cn2 cn 1 cn 1的形式 就会使问题复杂化 设数列 an 的前n项和为sn 已知数列 sn 是等比数列 且公比q 1 试判断 an 是否为等比数列 解 由已知sn s1qn 1 a1qn 1 所以 当n 2时 an sn sn 1 a1qn 2 q 1 所以又所以数列 an 不是等比数列 已知数列 an 为正项等比数列 它的前n项和为80 其中数值最大的项为54 前2n项的和为6560 试求此数列的首项a1和公比q 解 因为s2n 2sn 所以q 1 依题设 有 得1 qn 82 即qn 81 所以q 1 故前n项中an最大 将qn 81代入 得a1 q 1 又an a1qn 1 54 所以81a1 54q