04 第三章 卷积.ppt

3 4图象的卷积计算 3 4 1卷积积分3 4 2二维卷积3 4 3离散二维卷积的矩阵运算3 4 4卷积与滤波 3 4 1卷积积分 卷积 convolution 积分 是图像处理中十分重要的基本计算法则 就像算术中的四则运算一样 卷积积分 卷积 h t 是表征线性平移不变系统特性的一个函数 叫做该系统的冲激响应 是指当系统的输入是单位冲激时得到的输出 线性平移不变系统的输出可通过输入信号与该系统的冲激响应的卷积得到 卷积积分可以简化为 g h f运算符合 代表前后两个函数的卷积 下页图描述了两个函数的卷积过程 卷积积分的结果是图中的阴影部分的面积 最后的结果g t 是t的函数 3 4 1卷积积分 1 线性移不变系统的两种表示形式复数形式的传递函数 实数形式的卷积冲激响应 两者是统一的 2 卷积的性质交换性加法的分配率结合率求导的性质 卷积积分的步骤 1折迭 把h 相对纵轴作出其镜像 2位移 把h 移动一个t值 3相乘 将位移后的函数h t 乘以f 4积分 h t 和f 乘积曲线下的面积即为t时刻的卷积值 包含脉冲函数的卷积 即f t 或h t 中有一个为脉冲函数 则它们的卷积是一种最简单的卷积 T0 T0 h t f t t A A 卷积定理 如果f t 和h t 的傅立叶变换分别为F f 和H f 则f t h t 的傅立叶变换为H f F f 可以化复杂的卷积运算为简单的乘积运算 从而提供了计算卷积的一种简单手段 卷积定理的简单推导 相关函数 对两个不同的函数f1 t 和f2 t 则积分 称为两个函数的互相关函数 记为R12 t 即 关于互相关函数 有如下的性质 R21 t R12 t 相关函数 相关定理 如果f t 和h t 的傅立叶变换分别为F f 和H f 则f t 和h t 的相关积分为F f H f 即 其中 F f 为F f 的复共轭 当f1 t f2 t f t 时 积分 称为f t 的自相关函数 简称相关函数 用记号R t 表示 即 卷积积分的过程 卷积积分的过程 卷积积分的图解表示 1 1 卷积积分的过程 卷积积分的图解表示 续 位移 h t1 2 g t 1 t 积分 3 4 1卷积积分 3 一维离散卷积 3 4 2二维卷积 设f和h分别是二元连续函数 即f x y 和h x y 则它们的卷积积分为式中的h是一个卷积函数用在图像处理之中 这个卷积函数就是一个表征图像处理系统性质的函数 二维连续函数的卷积过程与一维卷积相似 也是反转 平移 直 点 积 积分的过程 二维卷积的结果g x y 是一个体积 3 4 3 离散二维卷积的矩阵运算 二维卷积过程如下 由h i j 产生序列h i m j n 首先把h m n 对m和n轴进行反转 然后进行平移 使得抽样h 0 0 处于 i j 点上 计算f m n h i m j n 乘积序列 将乘积序列的各非零抽样值相加 得到卷积输出值g i j 当m n变化时 则序列h i m j n 移到 m n 平面的另一个位置 得到另一个卷积输出值 3 4 3 离散二维卷积的矩阵运算 二维卷积卷积运算比较复杂 不能用两个二维序列的矩阵形式直接运算 要对它们进行适当的构造以通过矩阵相乘的运算得到卷积的结果 首先认为两个序列f i j 与h i j 都是在x和y方向上周期至少为N和M的无限长周期序列的一部分 将它们用矩阵形式描述 则为F与H 它们的卷积为G F H H F设F的大小为 mf nf H的大小为 mh nh 由于卷积运算是两个序列之间展转相乘求和的过程 所以在运用矩阵形式时要把F和H加以扩展 扩展后的矩阵大小为M N 其中M mf mh 1 N nf nh 1 用 0 元素填充扩展区的行 列 把扩展后的矩阵命名为Fp和Hp 为了方便起见 令M N 3 4 3 离散二维卷积的矩阵运算 3 4 3 离散二维卷积的矩阵运算 扩展后分别为 构造Fp 按行堆叠方法将它构造成一个 M N 1 N2 1维列向量fb行堆叠操作 把Fp元素按行转置之后作为fb列向量的一组 N个 元素 E g Fp中的第一行 1230 第二行 4560 第四行 0000 分别转置后依次排列成为fb列向量 123045607890 T构造Hp Hp是卷积核 它要在输入矩阵的范围内移动 并与输入矩阵的各个元素展转相乘 应该把矩阵Hp构造成能够适应这种运算的形式 为此 要构造一个N N个 块矩阵 组成的 循环 矩阵Hb 而每一个块矩阵又都是一个由Hp的每一行元素构成的循环矩阵 Hp的第一行 1100 构成的块矩阵为H1 Hp的第二行 2200 构成的块矩阵为H2 第三行和第四行 0000 构成的块矩阵均为H3和H4 这四个块矩阵分别构成了循环矩阵Hb的第一列 Hb的第二列 第三列和第四列由第一列四个块矩阵的次序循环交换构成 3 4 3 离散二维卷积的矩阵运算 2 3 离散二维卷积的矩阵运算 将Hb与fb相乘 得到Gb Hb fb 1 1 13 6 3 312 15 3 321 14 2 218 T最后 把Gb变成N N卷积矩阵G 3 4 3 离散二维卷积的矩阵运算 3 4 4 卷积与滤波 卷积的数字实现可用于对数字信号和数字图像的线性滤波 采样方波信号和滤波器冲激响应的卷积过程 2 4 卷积与滤波 单位脉冲输入通过一个一阶低通滤波器之后 减少了一定的高次谐波 卷积的作用和应用 1 平滑可采用矩形脉冲 三角脉冲或高斯