有限元法笔记.doc

【有限元法】有限元法在电磁场计算中的应用电势与磁势表示的电磁场： 拉普拉斯方程： 泊松方程： 【边界条件】三种边界条件：1、 狄里克莱（Dirichlet）边界条件 其中，为狄里克莱边界，为位置的一般函数。特殊情况可以为常数或为0；2、 诺伊曼边界条件 其中，表示诺伊曼边界，n为边界的外向法向矢量，和为一般函数，特殊情况下可以为常数或为0。【二阶空间微分算子】其中，F表示一个一般函数关系，a,b,c为位置（即x,y）的一般函数。根据a,b,c的关系，又分为如下的方程：椭圆方程： 双曲方程： 抛物线方程： 【加权余数法】加权余数法是在确定近似解函数待定系数的一种方法。用一组简单函数的组合来逼近微分方程的精确解，会带来一组待定系数，如何确定系数便决定了求解方法。精确解是一个未知量，很难求得，加权余数法就是要找出近似解所带来的误差，并使之最小化，从而求出近似解。【加权余数法的余数】定义为近似解和精确解之间在边界上和区域内施加拉普拉斯算子作用之后的误差。即： 其中，为近似解，为尝试函数，为待定系数。g为边界值。通常情况下，余数和不为0。但，我们通常可以选取适当的系数，使余数的平均值或积分值为0。 为达到最好的效果，选取一组加权函数，使余数与加权函数的积分为0。 加权函数的个数等于待定系数的个数。即 这便是加权余数法的精要。【最小二乘法】当加权函数为余数函数本身时，构成了最小二乘法： 一般，不为0。 但可以选取适当的系数（i=1,2,n）,使达到最小。【迦辽金（Galerkin）法】 当选取的加权函数为尝试函数本身时，就是迦辽金法： 在由拉普拉斯确定的边界值问题时，迦辽金的表示法如下， 式中，加权函数的个数刚好等于未知系数的个数，确定了n个线性方程，由此可以解出n个未知系数。迦辽金法的好处是，方程组写成矩阵形式，1 其系数矩阵为对称矩阵。2 对尝试函数的连续性有所降低；选择的范围扩大。3 狄里克莱条件和诺伊曼条件可以包含在余数积分中，形成自然条件，降低计算要求。【加权余数法构成方程组】一般问题，在空间中，电磁场由偏微分方程描述，并服从定义在边界上的边界条件：余函数，选取一般形式的n个函数构成近似解： 再选取适当的加权函数和，使余数和的平均值为0。 对调线性算子和求和符号，成下列形式： j从1到n的变化，可以得到n个方程。写成矩阵形式： 其中，为nn矩阵，为一维列矩阵，、均为一维列矩阵。又是源矩阵，为边界矩阵。对于矩阵，其一般项可由上式写出： 上述公式为加权余数法的一般公式，计算机很难实施。而有限元法则是巧妙的选择加权函数和尝试函数，使这些积分的计算得到很大的改善。 在众多的方法中，迦辽金法在有限元法中被广泛的应用。【格林第一定理】 【矢量场的散度定义】 散度是通量函数对空间或体积的变化率。是一种体积导数。正如仍是x的函数。体积导数仍是【体积（无限小）】空间点的函数。 散度在直角坐标下的公式： 从散度公式经过推理得出散度定理： 格林定理也叫格林公式，是电磁学中的重要公式，是求解边值问题的重要工具。它是由散度定理推理得出的。 令，和都是定义在空间上的任意标量，只要满足连续、可微。根据矢量恒等式： 而梯度与方向导数的关系：由梯度的定义， 表示在上的投影。而方向导数的定义，比较上式， 也就是说，u在某个方向上的偏导数，就等于u的梯度在该方向上的投影。 ，代入散度定理，得到格林第一定理： 格林第一定理可以写成： 左面为二阶项，而右边为两个一阶项的积分，简化了积分。【选取适当的尝试函数，可以简化余数函数方程】 泊松方程的边界条件： 其中，q表示源激励项，g表示势函数狄里克莱边界上的值，h表示诺伊曼边界上上的电势沿外向法向方向的导数值。假设问题的近似解为，则用加权余数法解决该问题时，令余数在该空间和边界上的积分之和为0。即，可以选择适当的尝试函数，来消去第二项，即选择适当的尝试函数，使其在狄里克莱边界上永远满足：，（后面证明）这样，将第一项和第三项展开，就只有下面的加权余数方程式： 应用格林第一定理将第一项展开，得到： 将此式回代入上式，得到下列表达式： 分析该式，我们发现第三和第五项可以在选择时可以抵消掉。因为加权函数的选择是自由的，因而可以这么选择。如果适当的选择，使其在边界上的值用于是0（或为定值），则上述的六项就变成了下面的三项： 上式中没有明显的出现诺伊曼条件的表达式：，这是因为选择了加权函数，消去了该项。如此选择，便“自然”的满足了诺伊曼条件。注意上式中，还没有具体实现，使其在上的边界值为0。【迦辽金法可以使余数方程进一步简化】加权函数就是尝试函数本身，这就是迦辽金法。 设 其中， 是构成近似解的尝试函数。这样上述的余数方程就变成： 交换求和顺序： 令，则实际得到一组方程： 显然，总结一下迦辽金法得到的线性方程组： 其中， 【变分法】另一种求解微分方程的一般方法。变分法有一点与加权余数法类似，近似解也用一系列线性独立的尝试函数表示，其中包括未知的待定系数。与加权方法不同的是，变分法用另外的方法来形成求解待定系数的矩阵方程。在变分法中，首先要构成一个近似解的函数，叫做泛函，（从广义上来说，加权余数积分（即平均值）也是一种泛函），然后使该泛函最小化，从而减小近似解的误差。已经找到了适合常见形式偏微分方程的泛函。【在电磁场中，储能总是最小化】储能在电场中的能量可以表示为： 我们的泛函设法使其与电磁场的储能联系起来，事实上，就把电磁场的储能作为近似解的泛函，然后令其导数为0， 从而使其泛函达到最小化。去掉泛函不影响结果，定义泛函： 为求最小值，对泛函F求关于某个系数Cj的偏导数，并令其为0。即， ()事实上，我们要对泛函求关于每一个待定系数的偏导数，这样便构成了n个代数方程，n为待定系数的个数。求解过程中，有下式成立， 事实上，对某个尝试函数的梯度运算是独立于待定系数的函数，在上式中求关于的偏导数时，可以认为是的常数。那么在n个含有待定系数的各项中，只有当时，导数才不为0。 因此上式中只有一项导数不为0。 这样，先求导，后积分。上式可以写成： 交换积分和求和顺序，有 写成矩阵形式： 其中， 【里兹方法】上述求解偏微分方程的方法称为里海-里兹方法。【用变分法求解泊松方程】【泛函的表达式】泊松方程带激励源。一个典型的静电场问题可以用下述方程描述： 其中，即与电荷密度和电介质常数有关；g为电势在狄里克莱边界上的给定值；电势在诺伊曼边界上的法向导数为0。 这种其次诺伊曼边界条件表明电势的分布关于诺伊曼边界条件对称。泊松方程的泛函经过前人广泛的研究与总结，给出了如下的泛函：这种方程与储能方程相去甚远，之所以这样，是因为经过多年的实践和尝试而得出的方程，且具有一定的物理意义。在变分法中广泛使用。当近似解逼近精确解时，上述泛函表达式达到最小值。【近似解的表达式】近似解可以用下述方式描述 其中，u是一个可微函数，是一个参数，用于表示小的偏差。由于近似解在边界条件上等于精确解，所以在边界上函数u的值等于0。 将此种表达式代入泛函表达式得到，应用格林公式于第二项，可以得到： 【关键了】这里体现了泛函公式的优越性了。上式中的第一项，可以理解成在两种边界上的积分： 在狄里克莱边界上，函数u等于0；在诺伊曼边界上，。结果是泊松方程决定了，于是，方程演变成：将此结果回代到的表达式，有于是，近似解与精确解的偏差被找出来了：该误差永远大于0。 【误差方程】从构造泛函，和近似解的表达式，运用格林定理，得到了误差方程：。这是一个很重要的研究成果。从上述误差方程可以很快推导出：当近似解逼近精确解时，时，构造的泛函达到最小值。【有限元法】迦辽金法和变分法只是解决了微分方程的求解方法。我们发现这些积分是在考察的区域上和边界上进行的。如果区域较复杂，则这些积分变得非常繁琐。对这种问题的处理，有限元法巧妙的利用数学推演和定义，将整个上的积分划分为有限个数的子区域，使积分“局部化”，最后总加。即积分只对每一个单元进行，最后综合所有单元的积分而得到结果。在推演的过程中，可以清楚的看到，对整个区域的积分在有限元法中被转化为对各个子区域的积分之和，而对每个子区域的积分被简化为几何坐标的代数运算。有限元法的巧妙之一：考察方程： 我们最终的目的是求出各个节点的电位，而对于待定系数，我们不妨令其为各节点上的电势值。如此，求解待定系数和求解各节点上的电势值就变成了一个统一的过程。（如何实现？）有限元法的巧妙之二：狄里克莱条件为电磁场方程的基本边界条件，我们的近似解试图满足边界上的边界条件。当时我们没有涉及寻求尝试函数去满足这些条件，现在我们意识到，满足狄里克莱条件并非一件困难的事情，只要令各边界上的节点电势值等于狄里克莱条件规定的电势值就行，同时也要求尝试函数在这些节点上的值为1（所有尝试函数？）。 这样不但减少了未知系数，也使整个计算变得简单了。【形函数】尝试函数在有限元法中又称为形函数。事实上，对于一个有限元法的划分，尝试函数代表了单元上近似解的一种插值关系，决定了近似解在单元上的形状。对于一维一阶有限元来说，形函数为一个直线段；对于一维高阶有限元来说，形函数为一个曲线段；对于二维一阶有限元来说，形函数为一个平面；对于二维高阶有限元来说，形函数为一个曲面；对于三维一阶有限元来说，形函数为一个多维面或曲面；选择形函数时，可以使一个任意元上的函数只与该元所对应的节点势函数值有关，而与其它各点的值无关。这就是下面说明的有限元法的巧妙之三。有限元法的巧妙之三： 对于一维有限元来说，势函数这样选择，在单元“e”上，对应于节点，势函数的值为，而延伸到相邻两个节点、，其值逐步衰减到0。如图所示。如此，在单元“e”上的函数为： 这样的特殊函数使积分局部化，只与该单元的值有关，与其它划分单元无关。积分独立进行，便于计算机编程，大大简化了计算。 虽然这是有限元法的精妙之处，但同时有限元法的划分，对形函数的选择都是一个重要的考量。【二维有限元法】 分割原则：一般情况下，区域分割的越细，得到的近似解越精确。在划分区域时，对于场分布变化率较大的局部区域，更应注意将其分割成很小的有限元，对于场分布变化率较小的局部区域，便可以将其分割成较大的有限元，以减小单元个数。在对称轴线的两侧，电势对于该轴线的法向变化率为0，也就是说，对称轴线作为边界可以用齐次诺伊曼边界条件来描述，即电势关于对称轴线的法向梯度为0。【分割的离散化过程】用有限元表示整体的过程称为离散化。由于分割后的区域呈网格状，所以这种过程也称为网格形成过程。二维网格可以取多边形，以三角形居多。三角形有如下的优点：表示二维网格区域的多项式为三项，与三角形的顶点数和节点个数正好相同，多项式使用率最高：三角形形状简单，能表示复杂的几何图形。 (a) 基本划分(b) 顶点值为1，线性衰减为0到其他两个节点。 图 图（a）给出任意一个三角形，为单元“e”，顶点为i, j, k 。每一个顶点都对应一个形函数，对应于顶点“i”，在其上的值为1，并由此在单元e上直线下降，直到在其它两个节点j和k上将为0。在e单元之外一直保持0值。那么这三个节点值就决定了该形函数的形状。如图（b）所示。在e上的形函数可表示为： 【用三个顶点的值可求出系数】： 可以写成三个线性方程组： 三个方程，三个变量，可以求出其值。 确定i点上的形函数。【单元e上的电势表示】 设单元e上的三个电势值为，它们都是未知量，需用有限元法来求解。那么在单元e上的电势值可以表述为： 于是，单元e上的电势分布函数，由三个顶点的形函数和三个顶点的电势值线性叠加而成。【近似解的表达式】将以上原则推广到整个整个上，由于各个单元互不重叠，整个区域上的电势等于各个单元的组合，即 N表示单元的个数。【泛函应用于有限元法】对应于泊松方程的泛函，将近似解表达式代入，有这里的待定系数就是节点上的电势值，对泛函求关于各个节点电势的导数，并使之为0，便得到求解这些电势值的线性方程组：积分与求和交换顺序，更有利于计算机的处理。以上可以写成矩阵形式：其中，为 矩阵，为节点势函数矩阵； 为 激励矩阵。先说明，系数矩阵和激励矩阵的各元素依每个单元逐一计算，即整体矩阵的每一元素都由每个单元的贡献叠加而成，如下式所示： 具有顶点的一个任意元对系数矩阵的贡献为： 式中，各元素所在行与列由顶点在整个区域中的次序所决定，式中局部系数矩阵的每一个元素可由下式求出：该单元对激励矩阵的贡献为： 局部矩阵的每一元素可由下式求出： 由文献“O.C.Zienkewicz, Finite Elements and Approximation, John Wiley & Son Inc., 1983 ”得知，上式可以简化为： 在有限元法的计算过程中，将以上局部系数矩阵和局部激励矩阵的各元素填充到整体矩阵（即系数矩阵和激励矩阵）中，其行和列的位置则由节点在分割整个区域时的序号决定。【理解】划分的单元有n个（）每个单元有3个节点，相邻单元有重复的节点。【举例】说明如何用有限元的矩阵填充整体系数矩阵和激励矩阵。设有一个简单的几何图形，如图所示。共有3个单元，5个节点。节点间有联系则为x，无联系则为0。（1）单元的分别为顶点2,1,5。只有元素(2,2) (2,1) (2,5) (1,1) (1,2) (1,5) 和 (5,1) (5,2) (5,5) 有值，其余为0 。单元矩阵为 同理可以写出其余两个单元的矩阵，（2）单元只有3,4,5；(3)单元只有2,3,5； 总和为同