寒假竞赛讲义1(七年级).doc

第二章 实数一、有理数定义：能够表示成分数的形式的数，称为有理数. （其中均为整数，且）性质：（1）顺序性：即对于任意两个有理数，在，三种关系中，有且只有一种关系是成立的.（2）封闭性：即任意两个有理数的和，差，积，商（除数不为0）仍然为有理数.（3）稠密性：任意两个有理数之间，仍然存在着一个有理数.（4）有理数可以写成有限小数或无限循环小数的形式，形式上可以与分数互化.常用的有理数的运算方法与技巧：1、凑成整数法. 将一些数凑成整一、整十等数.2、裂项相消法. 将一些数列为分数差，然后相消.如：, ，等.3、以符代数法. 将一些数记作某个字母，达到化繁为简的目的.4、巧用公式法. 将一些数的运算利用乘法公式等.如： ，等.5、利用运算率. 将一些数改变运算顺序，使某些计算简便.例1、设都是有理数,且满足,则_例2、设是一个无理数，且满足，则是一个( )A小于0的有理数 B.大于0的有理数 C.小于0的无理数 D.大于0的无理数二、相反数与倒数的概念（1），则与互为相反数. 相反数等于本身的只有0.（2），则与互为倒数. 倒数等于本身的有1.相反数，倒数都是指两个数之间的关系.三、数轴规定了原点、正方向、单位长度的直线数轴.数轴上的点和全体实数是一一对应的，且右边的点对应的数总比左边的点对应的数大（正方向向右）.数轴可用来化简代数式，比较有理数的大小，求解含有绝对值的方程、不等式及函数等数学问题.四、绝对值定义：在数轴上，表示一个数的点与原点之间的距离就叫做数的绝对值.一个数的绝对值越大，则这个数表示的点到原点的距离就越大.一般地，表示所对应的点与所对应的点之间的距离.性质：（1），由于绝对值表示的是距离，所以任何实数的绝对值都是非负数.（2）. （3）若，则相等或互为相反数.（4） （5），（6） 例3、求的最小值.例4、已知函数，其中为常数，且，当自变量的取值范围为时，求的最大值.五、平方根与立方根平方根：如果，那么叫做的平方根（二次方根）.记作.其中叫做的算术平方根，正数有两个平方根，它们互为相反数，零的平方根是零，负数没有平方根.求一个数的平方根的运算叫做开平方.立方根：如果，那么叫做的立方根（三次方根）.记作.正数有一个正的立方根，零的立方根是零，负数有一个负的立方根.性质：， ， ， 算术平方根的性质：（1）算术平方根与被开方数均为非负数（即非负性）；即（2）任何非负数都有惟一的算术根（存在性与惟一性）.六、非负数非负数：正数或零非负整数：即自然数常见的非负数：实数的绝对值， 实数的偶次幂，实数的算术根（其中）性质：（）最小的非负数为，没有最大的非负数；（）有限个非负数的和仍然为非负数；（）若干个非负数的和为，则每个非负数都等于例：如果，则例5、设分别表示的整数部分和小数部分，求的值.例6、已知，则的大小关系是_例7、的值是（ ） 例8、一个数的两个平方根是和，求这个数.跟踪练习：1、 ，4的算术平方根是 。2、写出一个有理数和无理数，使它们都是大于的负数： .012343、如图，数轴上表示数的点是 4、一个自然数的算术平方根是，则它下一个自然数的算术平方根是_5、已知x、y是实数,若,则 .6、一个数的平方根是和,那么这个数是 。7、方程+=0的解是 。5、观察思考下列计算过程： 11=121， =11；同样： 111=12321， =111；由此猜想：= 。0CAB8、如图,数轴上表示1、的对应点分别为A、B,点B关于点A的对称点为C,则C所表示的数是（ ）A、-1；B、1-； C、2-；D、-2。9、已知x是实数，则+的值是（ ）A、1-；B、1+；C、-1；D、无法确定。10、代数式+的最小值是（ ）A、 0；B、1+；C、1；D、不存在。11、设x、y都是有理数，且满足方程（+）x+（+）y-4-=0，求x-y的值。 12、计算13、已知实数满足，如果，求的值.14、已知，则的最小值是多