高三数学一轮复习 97课件 新人教B版.pptVIP

重点难点重点 用向量方法讨论空间中的平行 垂直关系和求空间的角 距离难点 将立体几何问题转化为向量问题 知识归纳一 空间的角空间中的角包括两条异面直线所成的角 直线与平面所成的角 二面角等 这些角都是通过两条射线所成的角来定义的 因而这些角的计算方法 都是转化为平面内线与线所成的角来计算的 确切地说 是 化归 到一个三角形中 通过解三角形求其大小 3 二面角的平面角 从一条直线出发的两个半平面组成的图形叫做二面角 以二面角的棱上任意一点为端点 在两个面内分别作垂直于棱的两条射线 这两条射线所成的角叫做二面角的平面角 平面角是直角的二面角叫做直二面角 作二面角的平面角的常用方法有 1 定义法 根据定义 以棱上任一点为端点 分别在两个半平面内作垂直于棱的两条射线 则形成二面角的平面角 2 三垂线法 从二面角一个面内某个特殊点p作另一个面的垂线 过垂足a作二面角棱的垂线 垂足为b 连结pb 由三垂线定理得pb与棱垂直 于是 pba是二面角的平面角 或其补角 3 垂面法 过二面角的棱上一点作平面与棱垂直 分别与两个面的交线 构成二面角的平面角 二 空间的距离1 1 两点间的距离 连结两点的线段的长度 2 点到直线的距离 从直线外一点向直线引垂直相交的直线 点到垂足之间线段的长度 3 点到平面的距离 从平面外一点向平面引垂线 点到垂足间线段的长度 连接平面 外一点与平面 内任一点的线段中 垂线段最短 4 平行直线间的距离 从两条平行线中一条上任意取一点向另一条直线引垂线 这点到垂足间线段的长度 5 异面直线间的距离 两条异面直线的公垂线夹在这两条异面直线间的线段的长度 6 直线与平面间的距离 如果一条直线和一个平面平行 从直线上任意一点向平面引垂线 这点到垂足间线段的长度 7 两平行平面间的距离 两个平面的公垂线段的长度 2 求距离的一般方法和步骤求距离的思想方法和步骤与求角相似 其基本步骤是 找出或作出有关距离的图形 证明它符合定义 在平面图形内计算 空间中各种距离的计算 最终都要转化为线段长度 特殊情况也可以利用等积法 四 平面的法向量与平面的向量表示1 如果向量a的基线与平面 垂直 则a称作平面 的法向量 五 其它有关问题1 在求立体几何中线段的长度时 利用a a a 2 2 求平面的法向量的方法 误区警示1 建立坐标系一定要符合右手系原则 2 注意一个向量在另一个向量上的投影的数量的求法及与距离的关系 3 平面的法向量与直线的方向向量在求空间的角中起着关键作用 要注意向量的夹角与各种角的联系与区别 一 向量在研究空间直线与平面位置关系中的应用运用空间向量的坐标运算解决立体几何问题时 一般步骤为 建立恰当的空间直角坐标系 求出相关点的坐标 写出向量的坐标 结合公式进行论证 计算 转化为几何结论 借助空间向量可将立体几何中的平行 垂直 夹角 距离等问题转化为向量的坐标运算 如 1 用向量方法研究两直线间的有关位置关系设直线l1 l2的方向向量分别为a b 1 l1 l2或l1与l2重合 a b 存在实数t 使a tb 2 l1 l2 a b a b 0 2 用向量方法研究直线与平面的有关位置关系设直线l的方向向量为a 平面 的法向量为n v1 v2是与 平行的两个不共线向量 1 l 或l 存在两个实数 使a v1 v2 a n 0 2 l a n 存在实数t 使a tn 3 用向量方法研究两个平面的位置关系设平面 的法向量分别为n1 n2 1 或 与 重合 n1 n2 存在实数t 使n1 tn2 2 n1 n2 n1 n2 0 若v1 v2是与 平行的两个不共线向量 n是平面 的法向量 则 或 与 重合 v1 且v2 存在实数 对 内任一向量a 有a v1 v2 二 用向量法求空间角1 求异面直线所成的角设l1与l2是两异面直线 a b分别为l1 l2的方向向量 l1 l2所成的角为 则 a b 与 相等或互补 三 用向量法求空间距离1 求点到平面的距离 例1 如图 两个边长为1的正方形abcd与正方形abef有公共边ab ebc 90 m n分别是bd ae上的点 且an dm 求证 mn 平面ebc 2 证明直线l 平面 时 可取直线l的方向向量a与平面 的法向量n 证明a n 0 可在平面 内取基向量 e1 e2 证明直线l的方向向量a 1e1 2e2 然后说明l不在平面 内即可 多面体的直观图及三视图分别如图所示 已知点m在ac上 点n在de上 且am mc dn ne a 求证 mn 平面bcef mn 平面bcef mn 平面bcef 自己再建立空间直角坐标系 用坐标法证明 例2 在棱长为1的正方体abcd a1b1c1d1中 e f分别为棱ab和bc的中点 试在棱b1b上找一点m 使得d1m 平面efb1 证明 分别以da dc dd1所在直线为x轴 y轴 z轴建立空间直角坐标系d xyz 点评 证明直线l1与l2垂直时 取l1 l2的方向向量a b 证明a b 0 证明直线l与平面 垂直时 取 的法向量n l的方向向量a 证明a n 或取平面 内的两相交直线的方向向量a b与直线l的方向向量e 证明a e 0 b e 0 证明平面 与 垂直时 取 的法向量n1 n2 证明n1 n2 0 或取一个平面 的法向量n 在另一个平面 内取基向量 e1 e2 证明n e1 e2 已知正方体abcd a1b1c1d1的棱长为2 e f g分别是bb1 dd1 dc的中点 1 求证 平面ade 平面b1c1f 2 求证 平面ade 平面a1d1g 3 在ae上求一点m 使得a1m 平面dae 取y1 1 z1 2 n1 0 1 2 同理可求n2 0 1 2 n1 n2 平面ade 平面b1c1f 例3 如图 正四棱柱abcd a1b1c1d1中 aa1 2ab 则异面直线a1b与ad1所成角的余弦值为 分析 正四棱柱容易建立坐标系 求出点的坐标 故用坐标法求解 答案 d 2010 衡水市模考 正四棱锥p abcd的所有棱长相等 e为pc的中点 那么异面直线be与pa所成角的余弦值等于 答案 d 可连结ac 取ac中点o 则eo pa beo为所求角 通过解 beo求得 例4 2010 湖南理 如图所示 在正方体abcd a1b1c1d1中 e是棱dd1的中点 1 求直线be和平面abb1a1所成的角的正弦值 2 在棱c1d1上是否存在一点f 使b1f 平面a1be 证明你的结论 这说明在棱c1d1上存在一点f f为c1d1的中点 使b1f 平面a1be 解法2 1 如图 a 所示 取aa1的中点m 连结em bm 因为e是dd1的中点 四边形add1a1为正方形 所以em ad 又在正方体abcd a1b1c1d1中 ad 平面abb1a1 所以em abb1a1 从而bm为直线be在平面abb1a1上的射影 ebm直线be与平面abb1a1所成的角 设正方体的棱长为2 则 2 在棱c1d1上存在点f 使b1f 平面a1be 事实上 如图 b 所示 分别取c1d1和cd的中点f g 连结eg bg cd1 fg 因为a1d1 b1c1 bc 且a1d1 bc 所以四边形a1bcd1为平行四边形 因此d1c a1b 又e g分别为d1d cd的中点 所以eg d1c 从而eg a1b 这说明a1 b g e共面 所以bg 平面a1be 因四边形c1cdd1与b1bcc1皆为正方形 f g分别为c1d1和cd的中点 所以fg c1c b1b 且fg c1c b1b 因此四边形b1bgf为平行四边形 所以b1f bg 而b1f 平面a1be bg 平面a1be 故b1f 平面a1be 点评 直线与平面斜交时 直线的方向向量与平面的法向量所成的角 不等于直线与平面所成的角 应弄清它们之间的关系 即sin cos 所以直线ca1与平面a1abb1所成的角为45 答案 45 1 证明 m是侧棱sc的中点 2 求二面角s am b的余弦值 分析 由条件知ad cd sd两两垂直 sd与底面矩形的边长已知 故建立坐标系用坐标法求解比较简便 2 可分别求出平面sam和mab的一个法向量 利用法向量的夹角与二面角的关系求解 解析 解法1 1 如图 以a为坐标原点ab ad ap所在直线分别为x y z轴建立空间直角坐标系 2 pa 平面abcd pa bc 又abcd是矩形 ab bc bc 平面bap bc pb 又由 1 知pc 平面bef 直线pc与bc的夹角即为平面bef与平面bap的夹角 在 pbc中 pb bc pbc 90 pcb 45 所以平面bef与平面bap的夹角为45 例6 已知正方体abcd a1b1c1d1的棱长为1 求异面直线da1与ac的距离 例7 在正方体abcd a1b1c1d1中 e f g分别为c1d1 b1c1 cc1的中点 1 求证 平面a1db 平面efg 2 求平面a1db与平面efg之间的距离 分析 1 证面面平行 只需证其中一个平面内的两条相交直线平行于另一个平面 2 计算面面距离 找公垂线段 求其中一个平面内任一点到另一平面的距离 用 体积法 计算 用空间向量求 解析 1 证明 以d为原点 直线da dc dd1分别为x轴 y轴 z轴建立空间直角坐标系 如图 在正三棱柱abc a1b1c1中 所有棱长均为1 则点b1到平面abc1的距离为 1 2010 山东济南 如图 在直三棱柱abc a1b1c1中 acb 90 2ac aa1 bc 2 d为aa1上一点 1 若d为aa1的中点 求证 平面b1cd 平面b1c1d 2 若二面角b1 dc c1的大小为60 求ad的长 解析 解法一 1 a1c1b1 acb 90 b1c1 a1c1 又由直三棱柱的性质知b1c1 cc1 b1c1 平面acc1a1 b1c1 cd 由 可知cd 平面b1c1d 又cd 平面b1cd 故平面b1cd 平面b1c1d 2 由 1 可知b1c1 平面acc1a1 在平面acc1a1内过c1作c1e cd 交cd或其延长线于e 连接eb1 由三垂线定理可知 b1ec1为二面角b1 dc c1的平面角 b