【金版教程】高考数学总复习 10.1两个计数原理精品课件 文 新人教B版.ppt

一 本章知识网络结构 二 高考考点聚集 最新考纲解读1 掌握分类计数原理和分步计数原理 2 深刻理解 计数 中的 分类 与 分步 对解决问题的重要作用 并能用它们分析和解决一些简单的应用问题 高考考查命题趋势两个原理是解决排列 组合问题的理论依据 是推导排列数公式 组合数公式的依据 在高考中经常把这部分知识与其他知识综合起来进行考查 很少单独考查 但属于高考必考内容 一 分类计数原理 加法原理 完成一件事 有n类办法 在第一类办法中有m1种不同的方法 在第二类办法中有m2种不同的方法 在第n类办法中有mn种不同的方法 那么完成这件事共有n m1 m2 mn种不同的方法 二 分步计数原理 乘法原理 完成一件事 需要分成n个步骤 做第1步有m1种不同种的方法 做第2步有m2种不同的方法 做第n步有mn种不同的方法 那么完成这件事共有n m1 m2 mn种不同的方法 三 两个原理的区别与联系上述两个原理都是研究完成一件事有多少种不同方法的计数依据 它们的区别在于 加法原理的要害是分类 将完成一件事的方法分成若干类 并且各类办法以及各类办法中的各种方法相互独立 运用任何一类办法的任何一种方法均可独立完成这件事 乘法原理的要害是分步 将完成一件事分为若干步骤进行 各个步骤不可缺少 只有当各个步骤依次完成后这件事才告完成 在这里 完成某一步的任何一种方法只能完成这一个步骤 而不能独立完成这件事 选择题1 某人计划使用不超过500元的资金购买单价分别为60 70元的单片软件和盒装磁盘 要求软件至少买3片 磁盘至少买2盒 则不同的选购方式是 a 5种b 6种c 7种d 8种 解析 注意到购买3片软件和2盒磁盘花去320元 所以 这里只讨论剩下的180元如何使用 可从购买软件的情形入手分类讨论 第一类 再买3片软件 不买磁盘 只有1种方法 第二类 再买2片软件 不买磁盘 只有1种方法 第三类 再买1片软件 再买1盒磁盘或不买磁盘 有2种方法 第四类 不买软件 再买2盒磁盘 1盒磁盘或不买磁盘 有3种方法 于是由分类计数原理可知 共有n 1 1 2 3 7种不同购买方法 应选c 答案 c 2 已知集合m 1 0 1 n 2 3 4 5 映射f m n 当x m时 x f x xf x 为奇数 则这样的映射f的个数是 a 20b 18c 32d 24 解析 分步考查 第一步 考查x 1的象 当x 1时 x f x xf x 1 f 1 1 f 1 1 此时 f 1 可取n中任一数值 即m中的元素 1与n中的元素有4种对应方法 第二步 考查x 0的象 当x 0时 x f x xf x f 0 为奇数 故f 0 只有2种取法 f 0 3或f 0 5 即m中的元素0与n中的元素有2种对应方法 第三步 考查x 1的象 当x 1时 x f x xf x 1 2f 1 为奇数 故f 1 可为奇数也可为偶数 f 1 可取n中任一数值 即m中的元素1与n中的元素有4种对应方法 于是由分步计数原理可知 映射f共有4 2 4 32个 答案 c 3 将3个不同的小球放入4个盒子中 则共有 种方法a 81b 64c 12d 14 解析 第一步 第一个小球放入4个盒子中共有4种办法 第二步 第二个小球放入4个盒子中共有4种办法 第三步 第三个小球放入4个盒子中共有4种办法 根据乘法原理共有4 4 4 64 答案 b 4 如图 小圆圈表示网络的结点 结点之间的连线表示它们有网线相连 连线上标注的数字表示该段网线单位时间内可以通过的最大信息量 现从结点a向结点b传递信息 信息可以沿不同的路径同时传递 则单位时间传递的最大信息量是 a 26b 24c 20d 19 解析 要完成的这件事是 从a向b传递信息 完成这件事有4类办法 第一类中单位时间传递的最大信息量是3 第二类单位时间传递的最大信息量是4 第三类单位时间传递的最大信息量是6 第四类单位时间传递的最大信息量是6 所以由分类计数原理知道共有 3 4 6 6 19 故选d 答案 d 例1 2009年四川卷文 2位男生和3位女生共5位同学站成一排 若男生甲不站两端 3位女生中有且只有两位女生相邻 则不同排法的种数是 a 60b 48c 42d 36 解析 解法一 从3名女生中任取2人 捆 在一起记作a 共有 6种不同排法 剩下一名女生记作b 两名男生分别记作甲 乙 则男生甲必须在a b之间 若甲在a b两端 则为使a b不相邻 只有把男生乙排在a b之间 此时就不能满足男生甲不在两端的要求 此时共有6 2 12种排法 a左b右和a右b左 最后再在排好的三个元素中选出四个位置插入乙 所以 共有12 4 48种不同排法 答案 b 1 完成一件事是 分步 进行还是 分类 进行 是选用基本原理的关键 2 首先弄清要完成的事情是什么 是分类完成还是分步完成 类 间互相独立 分类用加法原理 步 间互相联系 分步用乘法原理 3 无论分类还是分步一定做到不重不漏科学分类 4 有无特殊条件的限制 思考探究1 1 2009年广东高考卷理 2010年广州亚运会组委会要从小张 小赵 小李 小罗 小王五名志愿者中选派四人分别从事翻译 导游 礼仪 司机四项不同工作 若其中小张和小赵只能从事前两项工作 其余三人均能从事这四项工作 则不同的选派方案共有 a 36种b 12种c 18种d 48种 解析 分两类 若小张或小赵入选 则有选法 24 若小张 小赵都入选 则有选法aa 12 共有选法36种 选a 答案 a 2 2009年北京卷理 用0到9这10个数字 可以组成没有重复数字的三位偶数的个数为 a 324b 328c 360d 648 答案 b 例2已知集合m 3 2 1 0 1 2 p a b 表示平面上的点 a b m 问 1 p可表示平面上多少个不同的点 2 p可表示平面上多少个第二象限的点 3 p可表示多少个在直线y x上的点 解 1 确定平面上的点p a b 可分两步完成 第一步确定a的值 共有6种确定方法 第二步确定b的值 也有6种确定方法 根据分步计数原理 得到平面上的点数是6 6 36 2 确定第二象限的点 可分两步完成 第一步确定a 由于a0 所以有2确定方法 由分步计数原理 得到第二象限点的个数是3 2 6 3 点p a b 在直线y x上的充要条件是a b a和b必须在集合m中取同一元素 共有6种取法 即在直线y x上的点有6个 利用分步计数原理解决问题时 按照事件发生的过程合理分步 分步也有先后顺序 步与步之间相互依存缺一不可 只有各步都完成了事件才算完成 思考探究2 1 有三个不同的信箱 今有四封不同的信欲投其中 则不同的投法有 种 a 81b 64c 24d 4 解析 将 投四封信 这件事分四步完成 每投一封信作为一步 每步都有投入三个不同信箱的三种方法 因此 n 3 3 3 3 34 81 故答案选a 答案 a 2 在直角坐标xoy平面上 平行直线x n n 0 1 2 3 4 5 y n n 0 1 2 3 4 5 组成的图形中 矩形共有 个 a 25b 36c 100d 225 解析 在垂直于x轴的6条直线中任意取2条 在垂直于y轴的6条直线中任意取2条 这样的4条直线相交便得到一个矩形 所以根据分步计数原理知道 得到的矩形共有 15 15 225个 故选d 答案 d 例3书架的第1层放有4本不同的计算机书 第2层放有3本不同的文艺书 第3层放有2本不同的体育书 1 从书架上任取1本书 有多少种不同的取法 2 从书架的第1 2 3层各取1本书 有多少种不同的取法 解 1 从书架上任取1本书 有3类办法 第1类办法是从第1层取1本计算机书 有4种方法 第2类是从第2层取1本文艺书 有3种方法 第3类是从第3层取1本体育书 有2种方法 根据分类计数原理 不同取法的种数是4 3 2 9种 所以 从书架上任取1本书 有9种不同的取法 2 从书架的第1 2 3层各取1本书 可以分成3个步骤完成 第1步从第1层取1本计算机书 有4种方法 第2步从第2层取1本文艺书 有3种方法 第3步从第3层取1本体育书 有2种方法 根据分步计数原理 从书架的第1 2 3层各取1本书 不同取法的种数是4 3 2 24种 所以 从书架的第1 2 3层各取1本书 有24种不同的取法 两个原理的区别在于一个和分类有关 一个和分步有关 1 如果完成一件事有n类办法 这n类办法彼此之间是相互独立的 无论哪一类办法中的哪一个都能单独完成这件事 求完成这件事的方法种数 就用分类计数原理 2 如果完成一件事 需分成n个步骤 缺一不可 即需要依次完成所有的步骤 才能完成这件事 完成每一个步骤各有若干种不同的方法 求完成这件事的方法种数 就用分步计数原理 思考探究3用0 1 2 3 4 5这六个数字 1 可以组成多少个数字不重复的三位数 2 可以组成多少个数字允许重复的三位数 3 可以组成多少个数字不允许重复的三位的奇数 4 可以组成多少个数字不重复的小于1000的自然数 5 可以组成多少个大于3000 小于5421的数字不重复的四位数 解 1 分三步 先选百位数字 由于0不能作百位数 因此有5种选法 十位数字有5种选法 个位数字有4种选法 由乘法原理知所求不同三位数共有5 5 4 100个 2 分三步 百位数字有5种选法 十位数字有6种选法 个位数字有6种选法 所求三位数共有5 6 6 180个 3 分三步 先选个位数字 有3种选法 再选百位数字 有4种选法 选十位数字也是4种选法 所求三位奇数共有3 4 4 48个 4 分三类 一位数 共有6个 两位数 共有5 5 25个 三位数共有5 5 4 100个 因此 比1000小的自然数共有6 25 100 131个 5 分4类 千位数字为3 4之一 共有2 5 4 3 120个 千位数字为5 百位数字为0 1 2 3之一时 共有4 4 3 48个 千位数字是5 百位数字是4 十位数字为0 1之一时 共有2 3 6个 还有5420也是满足条件的1个 故所求自然数共120 48 6 1 175个 1 一只青蛙从正六边形abcdef的顶点a处起跳 每次可以跳到与它相邻的两个顶点之一 若5步内 含5步 跳到顶点d则停止 5步跳不到d点也停止 问共有多少种不同的跳法 解 解法1 3步跳到d点的有2种方法 5步跳到或跳不到d点的共有25 2 22 24种方法 其中2 22是3步跳到d后还继续跳的 所以 共有不同跳法2 24 26 种 解法2 画树形图共有 1 22 23 2 26 种 abcdb 22 a 23 2 从数字0 1 3 5 7中取出不同的三个作系数 可组成多少个不同的一元二次方程ax2 bx c 0 其中有实数根的有几个 分析 1 二次方程要求a不为0 故a只能在1 3 5 7中选 b c没有限制 2 二次方程要有实根 需 b2 4ac 0 再对c分类讨论 3 用1 2 3 4 5排成一个数字不重复的五位数a1a2a3a4a5 满足a1a3 a3a5的五位数有多少个 4 三边长均为整数 且最大边长为11的三角形的个数是多少 解 设较小的两边长为x y且x y 当x 1时 y 11 当x 2时 y 10 11 当x 3时 y 9 10 11 当x 4时 y 8 9 10 11 当x 5时 y 7 8 9 10 11 当x 6时 y 6 7 8 9 10 11 当x 7时 y 7 8 9 10 11 当x 11时 y 11 所以不同三角形的个数为1 2 3 4 5 6 5 4 3 2 1 36 小结 本题关键是列出约束条件 然后寻找x 1 2 11时 y的取值个数的规律 再用分类计数原理求解 1 分类原理中分类的理解 完成一件事 有n类办法 这是对完成这件事的所有办法的一个分类 分类时 首先要根据问题的特点 确定一个适合它的分类标准 然后在这个标准下进行分类 其次 分类时要注意满足两条基本原则 第一 完成这件事的任何一种方法必须属于某一类 第二 分别属于不同类的两种方法是不同的方法 前者保证完成这件事的方法不遗漏 后者保证不重复 2 分步原理中分步的理解 完成一件事 需要分