第八章 李雅普诺夫稳定性.doc

第八章 李雅普诺夫稳定性我们已经学过判别系统稳定性的几种方法：劳斯-胡尔维兹判据、奈魁斯特判据等，这些方法主要适用于线性定常系统。本章将介绍适用于一般非线性系统（当然也包括线性定常系统）的李雅普诺夫稳定性判据。1 基本概念1. 系统的分类 按是否满足迭加原理分为：线性、非线性；按是否显含时间变量分为：定常（自主、时不变）、非定常（非自主、时变）。线性定常系统最简单，非线性时变系统最复杂。2. 标量函数的定号性 标量函数称为正定的（半正定的）若，且当时，（）。标量函数称为负定的（半负定的）若是正定的（半正定的）。例如：若，则 正定； 半正定； 都不是。n 请特别注意，与的区别（见上面第二例），更要注意是定号性的必要条件（见上面第三例）。n 二次型函数的定号性同矩阵A（实对称）的定号性。n 在不引起混淆时，可直接用表示正定，其余类推。3. 运动和平衡状态考虑不受外部作用的系统，其状态轨线，即方程的解称作系统的运动。满足的状态，也就是的解（零解），称作系统的平衡状态。是一种“静止”的运动。平衡态可能不止一个，甚至无穷多个。若某一平衡态附近足够小的邻域内没有别的平衡态，则称它为孤立的平衡状态。经过适当的坐标变换，孤立平衡状态总可以变换到状态空间的原点。4. 平衡状态的稳定性稳定：对孤立平衡状态，若任给，存在，使得由内任意出发的运动，恒有。不稳定：孤立平衡状态不满足上述稳定的条件。渐进稳定：孤立平衡状态是稳定的，且。吸引域：是针对渐进稳定的平衡状态而言的，在该域内任意出发的运动必趋于。 全局（大范围）渐稳：若吸引域充满整个状态空间。 n 讨论的是平衡状态（而不是系统）的稳定性；n 平衡状态唯一是大范围渐进稳定的必要条件；n 对线性系统，渐进稳定必定大范围渐进稳定；n 对非线性系统，确定最大吸引域通常很困难。2 李雅普诺夫方法2.1 第一方法（间接法）非线性定常系统在平衡状态附近的线性化模型是：，其中，李雅普诺夫第一方法如下：若A渐进稳定（所有特征值具有负实部），则原系统平衡状态也渐进稳定；若A不稳定（至少有一个特征值具有正实部），则也不稳定；若A稳定但不渐稳（至少有一个特征值具有零实部，其余均具有负实部），则不能判定的稳定性。例2-1 非线性系统用下列微分方程组描述，其中系数，均大于零，输入为常数，要求判断平衡状态的稳定性。解：由及求得系统的平衡状态：， 令 得到：将其线性化，得 显然，当时，线性化系统的两个特征值均具有负的实部，是渐近稳定的，因而，原系统的平衡状态也是渐近稳定的。而当时，线性化系统有实部为正的特征值，是不稳定的，因而，原系统的平衡状态也是不稳定的。2.2 第二方法（直接法）李雅普诺夫提出的第二方法较之第一方法有着质的飞跃，它不需要线性化的步骤，也不需要求解系统的运动方程，而是通过所谓的李雅普诺夫函数，直接判断系统平衡状态的稳定性。设原点是定常系统的平衡状态，若存在（找到）单值标量函数，它沿系统解曲线（状态轨线）的导数为根据和的定号性，李亚普诺夫给出了判定原点稳定性的一系列定理。定理2-1 正定，负定，则原点是渐近稳定的；如果还有，则原点是大范围渐近稳定的。定理2-2 正定，半负定，则原点是稳定的；此外，若在系统的状态轨线上不恒为零，则原点是渐近稳定的；如果还有，则原点是大范围渐近稳定的。定理2-3 正定，也正定，则原点是不稳定的。n 以上各定理只具有充分性，满足定理条件的称为系统的李雅普诺夫函数；找不到，不说明任何问题；n 特别强调：依赖于系统方程，是沿系统解曲线的导数；n 直观解释：代表广义能量，代表广义功率。，说明在解曲线上是消耗功率的过程，直到为止。例2-2 考察如下非线性系统的稳定性解：第一方法： 线性化得： 特征根，不能判定原有非线性系统的原点稳定性。第二方法： 设 ， 则 令 取 ，得 且 原点是大范围渐近稳定的。例2-3考察如下线性系统的稳定性，解：显然，原点是系统唯一的平衡状态。（1）取，得，不定，不能判。（2）取，得，负半定，原点稳定。 若，则，代入原方程得 ，因而仅发生在原点处，即在解曲线上不恒为零，原点渐近稳定。且 原点是大范围渐近稳定的。（3）取，得，原点渐近稳定，且， 原点是大范围渐近稳定的。例2-4 考察如下非线性系统平衡状态的稳定性。 解：不难看出，原点是它的平衡状态。选，则 。设，有两种可能：而任意；而任意。先看第一种情况。意味着和，代入系统的状态方程得到：和。因而，只有原点满足。再看第二种情况。意味着和，代入系统的状态方程得到：和。结果矛盾，所以这种情况不会发生。综上所述，在该系统的状态轨线上，除原点外，不恒为零。所以原点是渐近稳定的平衡状态。例2-5 考察如下非线性系统的稳定性解：将代入方程，有 ， 所以原点是平衡状态。选， 则。显然，在范围（兰虚线）内负定，且原点为该范围的内点，所以原点是渐稳的。 图2-1下面介绍确定吸引域的一种方法。在的边界上求的最小值，则就是一个保守的吸引域（比实际的小）。由，即， 得 得到一个保守的吸引域：，如红色点划线所示，黑色实线所示是仿真所得的准确吸引域。作业：10.1a，10.2b，10.4c，10.4d3 构造李雅普诺夫函数的方法很遗憾，对于非线性系统，没有一种构造李雅普诺夫函数的完全有效的通用方法。人们通常凭经验和技巧来选取李氏函数，最常见的是二次型函数。此外，也涌现出了许多适用于特定情形的辅助方法。这里介绍其中比较有影响的两种：克拉索夫斯基方法和变量梯度法。 3.1 克拉索夫斯基方法（KrasovsKii） 思路：不用而用构造李雅普诺夫函数。非线性定常系统的雅可比（Jacobi）矩阵定义为： （3-1）定理3-1（KrasovsKii）非线性系统，原点是它的平衡状态。若矩阵负定，则原点是渐近稳定的。进一步，当时，有，则原点是大范围渐近稳定的。证明： 取 （3-2） 则 根据李雅普诺夫稳定性定理，定理3-1成立。证毕。注意，该方法仍然是充分条件，条件不满足不说明任何问题。例3-1 用KrasovsKii方法判定下述系统平衡状态的稳定性。 解：不难验证，原点是系统的平衡状态。 是对称矩阵，F负定。且当时， 原点是大范围渐近稳定的。例3-2 用KrasovsKii方法判定下述系统平衡状态的稳定性。解：显然，原点是系统的平衡状态。， 负定且当时， 原点是大范围渐近稳定的。3.2 变量梯度法（Schultz，Gibson）思路：先找，而后计算，判。（1）由的梯度向量确定。称为标量函数V的梯度，它是一个向量函数。（2）求李雅普诺夫函数这是一个沿解曲线的曲线积分，当被积函数是梯度时，结果与积分路径无关。（3）构成梯度的条件：梯度向量的雅可比矩阵必是对称阵，共有个方程。（4）选择一条简单的积分路径上述条件满足时，选择按坐标的逐渐积分是最方便的。 注意，时， 时，余类推。变量梯度法的步骤：（1）设梯度向量为如下形式其中：待定系数可以是常数，也可以是的函数。为方便，最后一个系数通常设为常数。（2）由，确定部分系数或系数间满足的关系。（3）由，确定部分系数或系数间满足的关系。（4）积分求，由，确定其余系数。（5）确定系统渐近稳定的范围。例3-3 用变量梯度法构造下述系统的李雅普诺夫函数 解：经检验，原点是系统的平衡状态。（1） 设梯度向量：（2）计算导函数：（3）根据及的表达式，可取，由条件可得：，（注意，原点是范围的内点）。（4）按坐标积分得李雅普诺夫函数：（5）综上，原点是渐进稳定的，在范围内有一个吸引域。例3-4 用变量梯度法构造下述系统的李雅普诺夫函数。解：显然，原点是系统的平衡状态。（1）设 （2）为使负定，可设 。（3）由 ，得到：综上，（4）由于，故是正定的。（5）当时，有。所以原点是大范围渐近稳定的。作业：10.94 线性定常系统的渐近稳定性对线性定常系统而言，若原点是渐近稳定的平衡状态,则必然是大范围渐近稳定的，因而在整个状态空间中，原点是唯一的平衡点，系统的稳定性和原点的稳定性是一致的，以下不再区分。定理4-1 线性定常系统渐近稳定的充分必要条件是：对任意给定的正定矩阵Q，存在正定矩阵P满足李雅普诺夫方程：。 （4-1）（1）充分性证明（有正定解渐稳）：选 （）， （4-2）则 （4-3）若，根据李雅普诺夫稳定性基本定理，系统是渐近稳定的。换言之，若任给，存在，满足李雅普诺夫方程（4-1），则系统是渐近稳定的。证毕。（2） 必要性证明（渐稳有正定解）：考察矩阵微分方程：不难验证，是它的解矩阵，且有：以及（由于A渐稳）。将方程两边对时间积分得到： （4-4） 令： （4-5）则（4-4）式就是李亚普诺夫方程（4-1）。由于A是渐稳的，上式定义的P是存在的。显然，P是对称的，考察下面的二次型：若，则，由于，因而上式中被积函数总是正的，所以P是正定的。综上，若A渐稳，则对任给的，存在，见式（4-5），满足李雅普诺夫方程（4-1）。证毕。n 上述证明过程给出了线性定常系统的李雅普诺夫函数以及它的导函数：，；n 定理4-1也可取，只要沿解曲线不恒为零；n 若李雅普诺夫方程的解矩阵P是负定的，则系统是不稳定的；n 可以任取，通常取，解求；若正定，系统渐稳，否则，不渐稳；（充分必要条件）n 也可以先任取正定矩阵，求；若正定，系统渐稳，否则，不说明任何问题。（只是充分条件）定理4-2 任给正定矩阵Q，李雅普诺夫方程的解唯一确定的充分必要条件是：，即矩阵A没有互为相反数的特征根。当条件满足时，P唯一且为对称阵。提示：（1）前面已学过：方程有唯一解矩阵E的充要条件是：矩阵和彼此间没有相同特征值。 （2）若P是的解，则也是解。例4-1 判定下述线性定常系统的渐近稳定性。 解：取，令 ，代入李雅普诺夫方程得：比较矩阵元素得： 该系统是渐近稳定的。（思考：和其它判稳方法比较）定理4-3 系统所有特征值的实部均小于的充分必要条件是：对任意给定的正定矩阵Q，存在正定矩阵P满足：。 （4-6）例4-2 设系统状态方程如下，求控制律使闭环系统极点的实部均小于。解：设 ，则 代入方程，得：取，可解得 则：，闭环系统：其特征值为共轭复数，实部为，满足要求。（思考：和极点配置方法比较）5 离散系统的稳定性李雅普诺夫第二方法可以很方便地推广到离散系统。5.1非线性定常离散系统适用于连续时间系统的李雅普诺夫各种稳定性判据，只要相应地将修改为，即可适用于离散时间系统。例如：定理5-1 ，则原点是渐近稳定的；如果还有，则原点是大范围渐近稳定的。5.2 线性定常离散系统定理5-2 上述线性定常离散系统渐近稳定的充分必要条