高考数学一轮复习 7函数的奇偶性与周期性课件 （文） 新人教A版.ppt

2020 2 13 第七讲函数的奇偶性与周期性 2020 2 13 1 函数的奇偶性 1 函数的奇偶性的定义 回归课本 2020 2 13 2 对函数奇偶性的理解 函数奇偶性的判断a 首先看函数的定义域 若函数的定义域不关于原点对称 则函数既不是奇函数 也不是偶函数 2020 2 13 b 若函数的定义域关于原点对称 再看f x 与f x 的关系 若f x f x 则函数是奇函数 若f x f x 则函数是偶函数 若f x f x 且f x f x 则f x 既是奇函数又是偶函数 若f x f x 且f x f x 则f x 既不是奇函数 也不是偶函数 2020 2 13 在公共定义域内a 两奇函数的积与商 分母不为零时 为偶函数 两奇函数的和是奇函数 b 两偶函数的和 积与商 分母不为零 为偶函数 奇函数在对称区间上单调性一致 偶函数在对称区间上单调性相反 2020 2 13 2 函数的周期性 1 对于函数f x 如果存在一个非零常数t 使得当x取定义域内的每一个值时 都有f x t f x 那么函数f x 叫做周期函数 非零常数t叫f x 的周期 如果所有的周期中存在一个最小的正数 那么这个最小正数就叫f x 的最小正周期 2 周期函数不一定有最小正周期 若t 0是f x 的周期 则kt k z k 0 也一定是f x 的周期 周期函数的定义域无上 下界 2020 2 13 考点陪练 答案 b 2020 2 13 2 2011 安徽 设f x 是定义在r上的奇函数 当x 0时 f x 2x2 x 则f 1 解析 法一 f x 是定义在r上的奇函数 且x 0时 f x 2x2 x f 1 f 1 2 1 2 1 3 法二 设x 0 则 x 0 f x 是定义在r上的奇函数 且x 0时 f x 2x2 x f x 2 x 2 x 2x2 x 又f x f x f x 2x2 x f 1 2 12 1 3 答案 3 2020 2 13 3 2010 新课标全国 设偶函数f x 满足f x 2x 4 x 0 则 x f x 2 0 a x x4 b x x4 c x x6 d x x2 解析 已知函数f x 是偶函数 所以当x0 解得x0 解得x 4 综上 x f x 2 0 x x4 故选b 答案 b 2020 2 13 4 2010 山东 设f x 为定义在r上的奇函数 当x 0时 f x 2x 2x b b为常数 则f 1 a 3b 1c 1d 3解析 因为f x 为定义在r上的奇函数 所以有f 0 20 2 0 b 0 解得b 1 所以当x 0时 f x 2x 2x 1 所以f 1 f 1 21 2 1 1 3 故选a 答案 a 2020 2 13 5 2010 广东 若函数f x 3x 3 x与g x 3x 3 x的定义域均为r 则 a f x 与g x 均为偶函数b f x 为偶函数 g x 为奇函数c f x 与g x 均为奇函数d f x 为奇函数 g x 为偶函数解析 由f x 3 x 3x f x 可知f x 为偶函数 由g x 3 x 3x 3x 3 x g x 可知g x 为奇函数 答案 b 2020 2 13 答案 2x 3 2020 2 13 类型一函数奇偶性的判断解题准备 判断函数奇偶性的一般方法 1 首先确定函数的定义域 看是否是关于原点对称的 否则 既不是奇函数也不是偶函数 2 若定义域关于原点对称 则可用下述方法进行判断 定义判断 f x f x f x 为偶函数 f x f x f x 为奇函数 2020 2 13 等价形式判断 f x f x 0 f x 为偶函数 f x f x 0 f x 为奇函数 3 对于分段函数的奇偶性的判断应分段进行 2020 2 13 2020 2 13 分析 判断函数的奇偶性 首先要检验其定义域是否关于原点对称 若关于原点对称 再严格按照奇偶性的定义进行推理判断 2020 2 13 2020 2 13 2020 2 13 的定义域关于原点对称 当x 0时 x0 当x0 f x x 1 x x 1 x f x x 0 f x f x f x 为奇函数 2020 2 13 类型二函数的单调性与奇偶性的综合问题解题准备 1 讨论函数的单调性和奇偶性时 应先确定函数的定义域 2 奇函数在关于原点对称的单调区间内有相同的单调性 偶函数在关于原点对称的单调区间内有相反的单调性 3 将函数的奇偶性和单调性综合运用是考查函数性质的重要题型 2020 2 13 2020 2 13 2020 2 13 2020 2 13 又 1 x1 x2 x1x2 1 x1 x2 x1x2 2 x2 x1 0 1 x2 0 1 x1 0 1 x2 1 x1 1 x1 x2 x1x2 0 2020 2 13 类型三函数的周期性解题准备 三个结论 若a b是非零常数 且a b 则有 2020 2 13 2020 2 13 结论2 对称性与周期关系结论 1 f x 关于x a及x b对称 则t 2 b a 2 f x 关于x b及m a 0 对称 则t 4 b a 3 f x 关于m a 0 和n b 0 对称 则t 2 b a 结论3 奇偶性与周期关系结论 1 f x 是偶函数且关于直线x a对称 则t 2 a 2 f x 是奇函数且关于直线x a对称 则t 4 a 上述结论中的t为函数的周期 但不一定是最小正周期 2020 2 13 2020 2 13 2020 2 13 2020 2 13 类型四函数的奇偶性与周期性的综合问题解题准备 奇偶性和周期性都是函数的整体性质 奇偶性是解决函数图象的对称性问题 周期性是解决函数图象的平移问题 函数的单调性揭示函数的局部性质 灵活运用函数性质可解决与函数相关的方程 不等式等综合问题 2020 2 13 典例4 已知函数f x 是定义在r上的奇函数 对任意的x 都有f x 1 f 1 x 且方程f x 0在 1 1 上只有一个根 则方程f x 1 0的第2000个根是多少 从x轴右半轴开始从左到右数起 解 由f x 2 f 1 x 1 f x f x 得 f x 是周期函数 且周期为2 f x 1 是把f x 的图象向左移1个单位 由x r f x 是奇函数 且f x 0在 1 1 上只有一个根 知f 0 0 方程f x 0的第2000个根是4000 f x 1 0的第2000个根是3999 2020 2 13 错源一忽略定义域出错 2020 2 13 剖析 判断函数奇偶性 首先要看函数的定义域 若定义域是关于原点的对称区间 则函数可能具有奇偶性 否则 函数一定不具有奇偶性 其次 要看f x 与f x 之间的关系 正解 函数的定义域为 x x 1 定义域不关于原点对称 因此该函数为非奇非偶函数 2020 2 13 错源二忽视对参数的讨论 典例2 判断函数f x x2 x a 1 a r 的奇偶性 错解 显然函数定义域为r 因为f a a2 1 f a a2 2 a 1 所以f a f a 且f a f a 所以f x 既不是奇函数 也不是偶函数 2020 2 13 剖析 此解法错在于没有对参数进行讨论 未考虑到a 0这种特殊情形 以致解题出错 正解 当a 0时 函数f x x 2 x 1 x2 x 1 f x 此时f x 为偶函数 当a 0时 f a a2 1 f a a2 2 a 1 f a f a f a f a 此时f x 既不是奇函数 也不是偶函数 2020 2 13 技法一快速解题 数形结合法 典例1 已知定义在r上的函数f x 不恒为零 且满足f x 3 f 3 x f x 4 f 4 x 则f x 是 a 奇函数也是周期函数b 偶函数也是周期函数c 奇函数但非周期函数d 偶函数但非周期函数 2020 2 13 快解 由于本题为选择题 故可用数形结合法 画出符合题意的图象即可选对答案 函数f x 以点 3 0 为对称中心 以直线x 4为对称轴 如下图所示 点 2k 1 0 都是对称中心 直线x 2k都是对称轴 这里的k z 故选b 2020 2 13 另解切入点 因为f x 3 f 3 x f x 4 f 4 x 所以函数f x 以点 3 0 为对称中心 以直线x 4为对称轴 分析思维过程 要利用两个条件式 推证出f x 是奇函数或偶函数 需找到两式的联系 x 4 x 1 3 有3 x 1 2 x出现 如此推演 有望得到结果 2020 2 13 解析 f x 3 f 3 x f x 4 f 4 x f x 4 f x 1 3 f x 1 3 f 2 x f 4 x 2 f 4 x 2 f 3 x 3 f 3 x 3 f x 则f 4 x f x 4 f x f x f x 且f x 4 f x 故函数f x 是偶函数 也是周期函数 选b 答案 b 2020 2 13 方法与技巧 解是由函数满足的关系一步一步推证 步骤较多 不易掌握 而数形结合法简单 直观 好掌握 易理解 对于解选择题非常适宜 得分主要步骤 运用好已知的两个条件式是很重要的 首先由 式入手 使之出现 式的形式 再由 到 每步都需认真思考 是否满足条件 是否可以得到需要的结果 易丢分原因 各步变换时 注意符号 稍有不慎将会出错 如由f x 4 得到f x 故f 4 x f x 4 f x 2020 2 13 技法二探寻判断奇偶性的途径 2020 2 13 解 解法一 对于比较复杂的函数解析式 除了用定义法进行判断外 还可以考虑用f x f x 变形式 f x f x 0进行判断 应注意的是在利用这两个式子进行判断之前 应先探求是用f x f x 0还是用f x f x 0来进行判断 2020 2 13 2020 2 13 2020 2 13 方法与技巧 本题是用验证法判断函数的奇偶性 关系式f x f x 0实质是函数奇偶性的定义f x f x 的一个变形式 使用这个变形式