内蒙古呼伦贝尔市高三数学总复习《函数的奇偶性与周期性》课件.ppt

第八讲函数的奇偶性与周期性 走进高考第一关考点关 回归教材1 如果对于函数f x 定义域内任意一个x 都有f x f x 那么函数f x 就是偶函数 如果f x f x 那么函数f x 就是奇函数 如果一个函数f x 是奇函数或是偶函数 那么我们就说函数f x 具有奇偶性 一般地 奇函数的图象关于坐标原点对称 反过来 如果一个函数的图象关于原点对称 那么这个函数就是奇函数 偶函数的图象关于y轴对称 反过来 如果一个函数的图象关于y轴对称 那么这个函数就是偶函数 2 对于函数y f x 如果存在不为零的常数t 使得当x取定义域中的每一个值时 f x t f x 都成立 那么f x 是周期函数 t是它的一个周期 对于一个周期函数来说 如果在所有周期中存在一个最小正数 则这个最小正数叫做最小正周期 且若t是函数的一个周期 则nt也是函数的一个周期 考点训练1 若函数y x 1 x a 为偶函数 则a a 2b 1c 1d 2 答案 c 解析 y x 1 x a x2 1 a x a为偶函数 1 a 0 故a 1 2 已知定义在r上的奇函数f x 满足f x 2 f x 则f 6 的值为 a 1b 0c 1d 2 答案 b 解析 f x 2 f x 知f x 为周期函数 t 4 f 6 f 2 由f x 2 f x 得f 2 f 0 又f x 为奇函数 f 0 0 故f 2 0 即f 6 0 3 2009 浙江 若函数f x x2 a r 则下列结论正确的是 a 对于任意a r f x 在 0 上是增函数b 对于任意a r f x 在 0 上是减函数c 存在a r f x 是偶函数d 存在a r f x 是奇函数 答案 c 解析 当a 0时 f x 为偶函数 4 2009 北京东城模拟 下列函数中既是奇函数 又在区间 0 上单调递增的是 a y sinxb y x2c y xlg2d y x3 答案 c 解析 逐个检验 5 2009 上海 已知对于任意x r 函数f x 满足f x f x 若方程f x 0有2009个实数解 则这2009个实数解之和为 答案 0 解析 f x 为偶函数 其图象关于y轴对称 故这2009个实数根必有一个为零 其余两两关于y轴对称 故和为0 解读高考第二关热点关 题型一判断函数的奇偶性例1判断下列函数的奇偶性 4 f x 的定义域为r 当x 0时 x0 f x x 2 2 x x2 2x f x 对于x r 总有f x f x 为偶函数 点评 判断一个函数的奇偶性 应分两步进行 第一步 看函数的定义域是否关于原点对称 第二步 看f x 等于什么 若f x f x 则f x 为奇函数 若f x f x 则f x 为偶函数 变式1 判断下列函数的奇偶性 题型二奇偶性的应用例2 1 已知f x ax2 bx 1为定义在 1 a 2a 上的偶函数 则a b 2 已知函数y f x 2 为偶函数 则f x 的对称轴方程为 3 已知f x 为定义在 1 1 上的奇函数 且当x 1 0 上为增函数 为锐角三角形的两个内角 则f cos 与f sin 的大小关系为 1 点评 1 若一个函数为奇 偶 函数 其定义域一定关于坐标原点对称 若f x 为奇函数 则f x f x 若f x 为偶函数 则f x f x 且若f x 为奇函数 且x 0有意义 f 0 0 2 奇函数关于坐标原点对称的两个区间如果单调 则单调性一致 偶函数关于坐标原点对称的两个区间 若单调 则单调性相反 变式2 1 2009 广东模拟 若函数是奇函数 则实数a的值是 2 已知f x 为定义在 1 1 上的奇函数 在 1 0 上单调递增 若对于任意x 1 1 总有f 1 m f 1 m2 0 求m的取值范围 题型三函数的周期性例3 1 已知定义在r上的偶函数f x 满足f x 2 f x 1 对于任意x r恒成立 且f 0 0 则f 2009 答案 1 解析 1 f x 2 5f x 1 知 f x 为以4为周期的函数 f 2009 f 1 又当x 1时 f 1 5f 1 1 又f x 为偶函数 且f x 0 故f 1 1 f 2009 f 1 1 2 2009 山东日照模拟 已知函数f x 是定义域为r的偶函数 且f x 2 f x 若f x 在 1 0 上是减函数 那么f x 在 2 3 上是 a 增函数b 减函数c 先增后减的函数d 先减后增的函数 答案 a 解析 2 由f x 2 f x 知f x 为周期函数 t 2 f x 在 2 3 上的单调性与 0 1 上的单调性一致 又f x 为偶函数 且在 1 0 上单调递减 故f x 在上 0 1 单调递增 故答案为a 点评 抽象函数的周期性往往是以三角函数为模型设计的 故研究抽象函数的周期性时 可联想三角函数的性质 公式等 运用类比的思想 分析抽象函数的周期性 变式3 已知偶函数f x 满足f x 3 f x 当x 3 2 时 f x 2x 则f 116 5 答案 5 解析 由f x 3 f x 知f x 6 f x 3 f x 故f x 为周期函数 6为f x 的一个周期 故f 116 5 f 2 5 又f x 为偶函数 f 2 5 f 2 5 2 2 5 5 例4已知函数f x 是定义域为r的奇函数 且它的图象关于直线x 1对称 1 求f 0 的值 2 证明 函数f x 是周期函数 3 若f x x 0 x 1 求x r时 函数f x 的解析式 并画出满足条件的函数f x 至少一个周期的图象 解 1 函数f x 是奇函数 f x f x 令x 0 则f 0 f 0 即2f 0 0 f 0 0 2 函数f x 是奇函数 f x f x 又f x 关于直线x 1对称 f x f 2 x 由 得 f x f 2 x 换 x为x 则f 2 x f x f 4 x f 2 2 x f 2 x f x f x 故f x 是以4为周期的周期函数 3 f x x 0 x 1 当 1 x 0时 0 x 1 f x x 又f x 是奇函数 f x f x f x x f x x 又f 0 0 当 1 x 1时 f x x 当1 x 3时 f x x 2 点评 1 周期函数问题 在考题中常有两类表现形式 一类是研究三角函数的周期性 一类是研究抽象函数的周期性 抽象函数的周期常常应用定义f t x f x 给予证明 证明时多从中心对称 轴对称所产生的数学等式出发 推导满足周期定义的等式 从而证明函数为周期函数的同时求出周期 2 根据函数周期性 可求某区间上解析式 画出某区间上图象或求某一函数值 变式4 2009 重庆诊断 设f x 是定义在r上以3为周期的奇函数 且f 1 1 则f 0 f 2 答案 1 解析 f x 为奇函数 f 0 0 又f x 的周期为3 故f 2 f 2 3 f 1 f 1 1 故f 0 f 2 1 笑对高考第三关技巧关 函数的奇偶性 周期性是函数的重要性质 也是高考的必考内容之一 研究函数的奇偶性必须坚持 定义域优先 的原则 因为定义域不关于原点对称的函数既不是奇函数也不是偶函数 研究周期函数常用定义法 对于抽象函数的奇偶性常用赋值法 典例已知函数y f x x r 且x 0 对任意非零实数x1 x2 恒有f x15x2 f x1 f x2 试判断f x 的奇偶性 解 令x1 x2 1 f 1 2f 1 故f 1 0 令x1 x2 1 则有f 1 2f 1 0 即 f 1 0 令x2 x x1 1 则f x f x f 1 f x f x 为偶函数 点评 判断抽象函数的奇偶性 常用赋值法 考向精测1 函数f x x3 sinx 1 x r 若f a 2 则f a 的值为 a 3b 0c 1d 2 答案 b 解析 设f x f x 1 则f x 为奇函数 f a f a 即 f a 1 f a 1 2 1 1 f a 1 1 0 答案 a 课时作业 八 函数的奇偶性与周期性 一 选择题 1 下列函数中 不具备奇偶性的是 a y sinxb y log2c y cos3xd y sinx cosx 答案 d 2 已知函数f x 满足f x f x 2 13 若f 1 2 则f 99 a 13b 2c d 答案 c 解析 由f x 2 知 a 1 0 b 1 0 1 c 1 1 d 1 0 0 1 答案 d 解析 由f x 为奇函数 则不等式可化为x f x 0时 f x 在 0 单调递增 又f 1 0 当x 1时 f x 0 当00 当x 1时 f x 0 故x f x 0的解集为 1 0 0 1 4 已知定义在r上的奇函数f x 满足f x 2 f x 则f 10 的值为 a 1b 0c 1d 2 解析 f x 2 f x f x 4 f x 2 f x f x 为周期函数 故f 10 f 2 又f x 为奇函数 f 0 0 又f 2 f 2 0 f 0 0 故f 10 0 答案 b 5 定义在r上的函数f x 对任意x r f x 1 f x 1 则下列结论成立的是 a f x 是以4为周期的周期函数b f x 是以6为周期的周期函数c f x 关于x 1对称d f x 的图象关于 1 0 对称 解析 f x 1 f x 1 f x f x 1 1 f x 2 故f x f x 4 f x 是以4为周期的周期函数 答案 a 解析 由f x 4 f x f x 8 f x 4 f x f x 为周期函数 t 8 f 25 f 1 f 11 f 3 f 3 f 1 4 f 1 又f 80 f 0 又f x 为奇函数 f 0 0 又f x 在上为增函数 故f 1 0 f 1 0 故f 1 f 0 f 1 即f 25 f 80 f 11 故答案为d 答案 a 二 填空题 8 定义在r上的偶函数f x 满足f x 1 f x 且在上是增函数 下面关于f x 的判断 f x 是周期函数 f x 关于x 1对称 f x 在 0 1 上是增函数 f 0 f 2 其中正确命题的序号是 答案 解析 f x 1 f x 可知f x 2 f x 1 f x 可知f x 为周期函数 故 正确 又f x 2 f x f x 可知f x 关于x 1对称 故 正确 显然不对 由f x 2 f x 可知f 0 f 2 正确 故正确的有 9 设奇函数f x 的定义域为 5 5 若当x 0 5 时 f x 的图象如