【金版教程】高考数学总复习 13.1数学归纳法精品课件 文 新人教B版.ppt

一 知识结构网络图 二 高考考点聚焦 最新考纲解读1 了解数学归纳法的原理 2 会用数学归纳法证明与正整数有关的命题 高考考查命题趋势从近几年的高考看 使用新教材后 本节在高考中已不多见 且往往与数列 不等式 函数综合考查 但归纳 猜想 证明作为一种重要的数学思想方法 仍应引起学生们的重视 估计本节在2011年高考中仍可能以解答题的形式出现 1 归纳法 由一些特殊事例推出一般结论的推理方法 特点 由特殊 一般 2 数学归纳法 对于某些与正整数n有关的命题常常采用下面的方法来证明它的正确性 先证明当n取第一个值n0时命题成立 然后假设当n k k n k n0 时命题成立 证明当n k 1时命题也成立这种证明方法就叫做数学归纳法 3 数学归纳法的基本思想 即先验证使结论有意义的最小的正整数n0 如果当n n0时 命题成立 再假设当n k k n0 k n 时 命题成立 这时命题是否成立不是确定的 根据这个假设 如能推出当n k 1时 命题也成立 那么就可以递推出对所有不小于n0的正整数n0 1 n0 2 命题都成立 4 用数学归纳法证明一个与正整数有关的命题的步骤 1 证明 当n取第一个值n0结论正确 2 假设当n k k n 且k n0 时结论正确 证明当n k 1时结论也正确 由 1 2 可知 命题对于从n0开始的所有正整数n都正确 1 用数学归纳法证明的两个步骤 1 第一步是命题递推的基础 第二步是递推的依据 是论证过程的关键 在论证时 第一步验算n n0中的n不一定为1 根据题目的要求 有时可为2 3等 2 第二步证明n k 1时命题也成立的过程中 归纳假设p k 起着 已知条件 的作用 必须利用归纳假设p k 恰当的通过推理和运算推出p k 1 否则就不是数学归纳法 第二步证明的关键是 一凑假设 二凑结论 2 数学归纳法的两步分别是数学归纳法的两个必要条件 两者缺一不可 两步均予以证明才具备了充分性 也就是完成了这两步的证明才能断定命题的正确性 答案 d 2 某个命题与自然数n有关 若n k k n 时该命题成立 那么可推得当n k 1时该命题也成立 现已知当n 5时 该命题不成立 那么可推得 a 当n 6时该命题不成立b 当n 6时该命题成立c 当n 4时该命题不成立d 当n 4时该命题成立 解析 如果n 4时命题成立 那么由题设n 5时命题也成立 那么它的逆否命题是 如果n 5不成立 则n 4时 命题也不成立 原命题与逆否命题等价 故选c 答案 c 二 填空题3 用数学归纳法证明2n n2 n n n 5 则第一步应验证n 答案 5 答案 n 22k 1 用数学归纳法证题的方法步骤 1 验证当n n0 命题中最小的正整数 时命题成立 2 假设当n k k n0 k n 时命题成立 由此证明当n k 1时命题也成立 则由 1 2 知对一切n n0的正整数 原命题均成立 2 仔细观察欲证等式 或不等式 的结构特征 在第二步证明当n k 1时 要合理配凑向目标式靠拢是关键 3 是否是数学归纳法 其显著特征是看用没用归纳假设 否则不叫数学归纳法 即 n k 1命题成立 综上所述 由 知对一切n n 命题成立 例2是否存在正整数m使得f n 2n 7 3n 9对任意正整数n都能被m整除 若存在 求出最大的m的值 并证明你的结论 若不存在说明理由 解 由f n 2n 7 3n 9得 f 1 36 f 2 3 36 f 3 10 36 f 4 34 36 由此猜想m 36用数学归纳法证明如下 证明 数学归纳法 1 当n 1时 显然成立 2 假设n k时 f k 能被36整除 即f k 2k 7 3k 9能被36整除 那么当n k 1时 2 k 1 7 3k 1 9 3 2k 7 3k 9 18 3k 1 1 由于3k 1 1是2的倍数 故18 3k 1 1 能被36整除 这就说 当n k 1时 f n 也能被36整除 由 1 2 可知对一切正整数n都有f n 2n 7 3n 9能被36整除 m最大值为36 1 在用数学归纳法证明时 关键是一凑假设 二凑结论 2 在证明f n 能被m整除问题时 想法将f n 分解出m来 思考探究2证明n3 5n n n 能被6整除 证明 1 当n 1 n3 5n 1 5 1 6成立 2 假设n k时 k3 5k能被6整除 则当n k 1时 k 1 3 5 k 1 k3 3k2 3k 1 5k 5 k3 5k 3k k 1 6 k k 1 为偶数 3k k 1 6能被6整除 由假设知 k3 5k 3k k 1 6能被6整除 由 1 2 知命题成立 又bn 2nan bn bn 1 1 即当n 2时 bn bn 1 1 又b1 2a1 1 数列 bn 是首项和公差均为1的等差数列 于是bn 1 n 1 1 n 2nan an 于是确定tn与的大小关系等价于比较2n与2n 1的大小由22 3 1 24 2 4 1 25 2 5 证法1 1 当n 3时 由上验算显然成立 2 假设n k时 2k 2k 1成立 则当n k 1时 2k 1 2 2k 2 2k 1 4k 2 2 k 1 1 2k 1 2 k 1 1所以当n k 1时猜想也成立 综合 1 2 可知 对一切n 3的正整数 都有2n 2n 1 2 用数学归纳法证明对于n 0的整数an 11n 2 122n 1能被133整除 证明 1 当n 0时 a0 112 12 133成立2 假设n k k 0 时 ak 11k 2 122k 1能被133整除 则当n k 1时 ak 1 11k 3 122k 3 11k 2 11 122k 1 122 11k 2 11 11 122k 1 122k 1 122 11 122k 1 11 11k 2 122k 1 122k 1 122 11 11 11k 2 122k 1 133 122k 1能被133整除 由1 2 知 对于n 0的整数 an 11n 2 122n 1能被133整除 1 探索性问题在数学归纳法中的应用 思维方式 观察 归纳 猜想 推理论证 2 特别注意 1 用数学归纳法证明问题时首先要验证n n0时成立 注意n0