【金版教程】高考数学总复习 8.4直线与圆锥曲线的位置关系课件 文 新人教B版.ppt

最新考纲解读1 掌握直线与圆锥曲线的位置关系的判定方法 能够把研究直线与圆锥曲线的位置关系的问题转化为研究方程组的解的问题 2 会利用直线与圆锥曲线的方程所组成的方程组消去一个变量 将交点问题转化为一元二次方程根的问题 结合根与系数关系及判别式解决问题 3 能利用弦长公式解决直线与圆锥曲线相交所得的弦长的有关问题 会运用圆锥曲线的第二定义求焦点弦长 4 体会 设而不求 方程思想 和 待定系数 等方法 高考考查命题趋势1 纵观近几年高考试题中对圆锥曲线的考查 基本上是两个客观题 一个主观题 分值21分 24分 占15 左右 2 有关直线与圆锥曲线位置关系问题 是高考的重热点问题 这类问题常涉及圆锥曲线的性质和直线的基本知识以及线段中点 弦长等 分析这类问题时 往往要利用数形结合思想和 设而不求 的方法 对称的方法及韦达定理 多以解答题的形式出现 3 求与圆锥曲线有关的参数或参数范围问题 是高考命题的一大热点 这类问题综合性较大 运算技巧要求较高 尤其是与平面向量 平面几何 函数 不等式的综合 特别近年出现的解析几何与平面向量结合的问题 是常考常新的试题 将是今后高考命题的一个趋势 1 直线与圆锥曲线的位置关系 1 直线与圆锥曲线的位置关系可分为 相交 相切 相离 2 常用方法 将曲线方程与直线方程联立 由所得方程组的解的个数来决定 一般地 设直线l ax by c 0 圆锥曲线c f x y 0 由消去y 或消去x 得 ax2 bx c 0 b2 4ac a 0 0 相交 0时 有两个公共点 0时 有一个公共点 0时 没有公共点 注意 直线与曲线只有一个交点时 直线与曲线未必相切 在判定此类情形时 应注意数形结合 对于双曲线 重点注意与渐近线平行的直线 平行于渐近线的直线与双曲线只有一个交点时 但并不相切 关于抛物线 重点注意与对称轴平行的直线 平行于对称轴的直线与抛物线相交于一点 但并不是相切 因此直线与抛物线 双曲线有一个公共点是直线与抛物线 双曲线相切的必要条件 但不是充分条件 1 判断直线与圆锥曲线的位置关系时 注意数形结合 用判别式的方法时 若所得方程二次项的系数有参数 则需考虑二次项系数为零的情况 2 涉及中点弦的问题有两种常用方法 一是 设而不求 的方法 利用端点在曲线上 坐标满足方程 作差构造出中点坐标和斜率的关系 它能简化计算 二是利用韦达定理及中点坐标公式 对于存在性问题 还需用判别式进一步检验 3 对称问题 要注意两点 垂直和中点 答案 d 答案 a 答案 d 4 经过抛物线y2 2px p 0 的所有焦点弦中 弦长的最小值为 a pb 2pc 4pd 不确定 解析 设过焦点的直线方程为x ty 代入y2 2px中得y2 2pty p2 0 由弦长公式得 ab 2p 1 t2 2p 故选b 答案 b 5 华师大二附中模拟试卷2 已知直线l y kx 1 k 0 椭圆e 1 若直线l被椭圆e所截弦长为d 则下列直线中被椭圆e截得的弦长不是d的是 a kx y 1 0b kx y 1 0c kx y 1 0d kx y 0 答案 d 二 填空题6 过定点p 0 2 作直线l 使l与曲线y2 4 x 1 有且仅有1个公共点 这样的直线l共有 条 解法一 如下图 这样的直线共有3条 一条l1是过p且平行对称轴的 另两条l2 l3是过p的曲线的切线 解法二 可知点p在曲线开口处 如图可知过p和曲线y2 4 x 1 有且只有一个公共点的直线l的斜率k存在 所以可设l的方程为 y 2 kx 把其代入y2 4 x 1 中 整理有 k2x2 4 k 1 x 8 0 当k2 0 即k 0时 x 2 y 2 此时l和y2 4 x 1 有且只有一个交点 2 2 当k2 0 即k 0时 由 4 k 1 2 32k2 0 此时l和y2 4 x 1 相切 综上 所求的直线共有三条 分别为 y 2及y 1 x 2 答案 三 本题易错点判断直线与圆锥曲线的位置关系时 1 可转化为方程组的解的个数来确定 若所得方程二次项的系数有参数 则需考虑二次项系数为零的情况 2 根据 数形结合思想 通过把直线与双曲线的渐近线进行比较 从 形 的角度来判断 得出相应结论 思考探究1已知中心在原点 左 右顶点a1 a2在x轴上 离心率为的双曲线c经过点p 6 6 动直线l经过 a1pa2的重心g与双曲线c交于不同两点m n q为线段mn的中点 1 求双曲线c的标准方程 2 当直线l的斜率为何值时 分析 本小题考查双曲线标准方程中各量之间关系 以及直线与双曲线的位置关系 例2椭圆ax2 by2 1与直线x y 1相交于a b c是ab的中点 若 ab oc的斜率为 求椭圆的方程 解法一 设a x1 y1 b x2 y2 代入椭圆方程并作差得a x1 x2 x1 x2 b y1 y2 y1 y2 0 1 本题易错点 点差法 即设点 代入 作差 借助弦的中点和直线斜率的解题的方法 它是解析几何中解决直线与圆锥曲线位置关系的常用技巧 如本题的解法1就运用了此法 2 方法与总结解法二是圆锥曲线弦长的基本求法 是利用两点间的距离公式求得的 两者就是结合弦所在直线的斜率k 利用弦长与韦达定理相结合较简单 如果是焦点弦 可结合圆锥曲线的定义求解 例3已知抛物线y2 12x上存在关于直线y 4x m对称的相异两点 求实数m的取值范围 解法一 令相异的两点分别为a x1 y1 b x2 y2 则由已知有x1 x2且令线段ab中点为p x y 则由已知 曲线上存在两点关于已知直线对称的问题 一定要抓住下面三个条件 1 曲线上两对称点连线段的中点在对称直线上 即中点在对称轴上 2 曲线上两点所在的直线与已知直线垂直 得出斜率 即两个对称点的连线与轴垂直 3 两点连线与曲线有两个交点 0 通过该不等式求范围 注意 体会 设而不求 在解题中的简化运算功能 思考探究3在抛物线y2 4x上恒有两点关于直线y kx 3对称 求k的取值范围 解法一 设b c关于直线y kx 3对称 故可设直线bc方程为 x ky m 代入y2 4x得 y2 4ky 4m 0 设b x1 y1 c x2 y2 bc中点m x0 y0 则y0 2k x0 2k2 m 点m x0 y0 在直线l上 2k k 2k2 m 3 例4 广东韶关调研 已知点a b的坐标分别是 1 0 1 0 直线am bm相交于点m 它们斜率的积为 2 1 求动点m的轨迹方程 2 若过点n 1 的直线l交动点m的轨迹于c d两点 且n为线段cd的中点 求直线l的方程 分析 弦中点问题常用 点差法 或联立方程组 利用韦达定理求解 1 直接法求轨迹方程 当动点所满足的条件给出时常用此法 其步骤为 1 建系 2 设点 3 列式 4 代入 5 化简 6 检验 2 解决弦中点问题常用 点差法 通过将曲线上的点的坐标代入曲线方程 再将两式相减 这里代点相减后 适当变形出现弦的斜率和中点坐标 然后将直线的斜率和弦的中点坐标代入即可简化运算 从而出现 设而不求 即点差法 的思想 思考探究4 1 椭圆 1的弦被点p 2 1 所平分 求此弦所在直线的方程 解 设弦所在直线与椭圆交于m x1 y1 n x2 y2 两点 则即x 2y 4 0 2 已知直线y x 1与椭圆 1 a b 0 相交于a b两点 且线段ab的中点在直线l x 2y 0上 求此椭圆的离心率 例5 2009年广州越秀区模底 已知将圆x2 y2 8上的每一点的纵坐标压缩到原来的 对应的横坐标不变 得到曲线c 设m 2 1 平行于om的直线l在y轴上的截距为m m 0 直线l与曲线c交于a b两个不同点 1 求曲线c的方程 2 求m的取值范围 直线l与椭圆交于a b两个不同点 2m 2 4 2m2 4 0 解得 2 m 2且m 0 m的取值范围是 2 m 0或0 m 2 为了求参数的取值范围 只要列出关于参数的不等式 而建立不等式的方法有多种方法 诸如 判别式法 均值不等式法 有界性法等等 思考探究5直线m y kx 1和双曲线x2 y2 1的左支交于a b两点 直线l过点p 2 0 和线段ab的中点m 求l在y轴上的截距b的取值范围 解 由 消去y得 1 k2 x2 2kx 2 0 x 1 圆锥曲线中最值的求法有两种 1 几何法 若题目的条件和结论能明显体现几何特征及意义 则考虑利用图形性质来解决 这就是几何法 2 代数法 若题目的条件和结论能体现一种明确的函数 则可首先建立起目标函数 再求这个函数的最值 求函数最值的常用方法有配方法 判别式法 重要不等式法及函数的单调性法等 思考探究6定长为3的线段ab的两个端点在抛物线y2 x上移动 记线段ab的中点为m 求点m到y轴的最短距离 并求此时点m的坐标 解 设a x1 y1 b x2 y2 m x0 y0 因ab与x轴不平行 故可设ab的方程为x my a 将它代入y2 x得y2 my a 0 y1 y2 m y1 y2 a 由 ab 2 9得 m2 1 y1 y2 2 9 即 m2 1 y1 y2 2 4y1y2 9 1 直线与圆锥曲线c的位置关系 将直线l的方程代入曲线c的方程 消去y或者消去x 得到一个关于x 或y 的方程ax2 bx c 0 1 弦的问题 当a 0或a 0 0时 曲线和直线只有一个交点 当a 0 0时 曲线和直线有两个交