《高考风向标》高考数学一轮复习 第二章 第3讲 函数的奇偶性与周期性精品课件 理.ppt

第3讲 函数的奇偶性与周期性 1 函数的奇偶性的定义 f x f x 1 对于函数f x 的定义域内任意一个x 都有 或 则称f x 为奇函数 奇函数的图像关于 对称 f x f x 0 原点 2 对于函数f x 的定义域内任意一个x 都有则称f x 为偶函数 偶函数的图像关于 或 轴 对称 f x f x f x f x 0 y 3 通常采用图像或定义判断函数的奇偶性 具有奇偶性的函数 其定义域关于原点对称 也就是说 函数为奇函数或偶函数的必要条件是其定义域关于原点对称 2 函数的周期性的定义对于函数f x 如果存在一个每一个x值 都满足 使得定义域内的 那么函数f x 就叫做周期函 数 非零常数t叫做这个函数的 周期 非零常数t f x t f x b 1 对于定义域是r的任意奇函数f x 有 a f x f x 0b f x f x 0c f x f x 0d f 0 0 2 若f x 是偶函数 且当x 0 时 f x x 1 则 不等式f x 1 0的解集是 c a x 1 x 0 b x x 0或1 x 2 c x 0 x 2 d x 1 x 2 3 设f x 是定义在r上以6为周期的函数 f x 在 0 3 内单调递增 且y f x 的图像关于直线x 3对称 则下面正确的结 论是 c a f 1 5 f 3 5 f 6 5 b f 3 5 f 1 5 f 6 5 c f 6 5 f 1 5 f 3 5 d f 3 5 f 6 5 f 1 5 4 函数f x x 2 x 2 的奇偶性是 偶函数 5 设函数f x x2 1 x a 为奇函数 则a 0 考点1 判断函数的奇偶性 例1 判断下列函数的奇偶性 1 f x x 1 x 1 6 f x x2x 1 x2 解题思路 依照定义判断函数的奇偶性 要先考查函数的定义域 解析 1 函数的定义域x 对称于原点 f x x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 f x f x x 1 x 1 是奇函数 2 函数定义域为r f x 为偶函数 方法二 先化简 为偶函数 从这可以看出 化简后再解决要容易得多 3 去掉绝对值符号 根据定义判断 故f x 的定义域为 1 0 0 1 关于原点对称 且有x 2 0 从而有 1 x 2 1 x2 f x x x f x 故f x 为奇函数 4 函数f x 的定义域是 0 0 当x 0时 x 0 f x x 1 x x 1 x f x x 0 当x 0时 x 0 f x x 1 x f x x 0 故函数f x 为奇函数 5 此函数的定义域为 1 1 且f x 0 可知图像既关于原点对称 又关于y轴对称 故此函数既是奇函数又是偶函数 1 函数的奇偶性是函数的一个整体性质 定义域具有对称性 即若奇函数或偶函数的定义域为d 则x d时 x d 是一个函数为奇函数或偶函数的必要条件 2 分段函数的奇偶性一般要分段证明 3 判断函数的奇偶性应先求定义域再化简函数解析式 互动探究 义域均为r 则 b a f x 与g x 均为偶函数b f x 为偶函数 g x 为奇函数c f x 与g x 均为奇函数d f x 为奇函数 g x 为偶函数 考点2 利用函数的奇偶性求函数的表达式 例2 设f x 是r上的奇函数 且当x 0 时 f x 那么当x 0 时 求f x 解析式 解析 f x 是奇函数 当x 0时 x 0 互动探究 2 1 已知f x 是定义在r上的奇函数 当x 0时 f x x x2 则x 0时 f x f x x2 x 2 已知函数f x 是定义在 上的偶函数 当x 0 时 f x x x4 则当x 0 时 f x 考点3 函数奇偶性与单调性的综合应用 例3 已知奇函数f x 是定义在 2 2 上的减函数 若f m 1 f 2m 1 0 求实数m的取值范围 f x x x4 利用函数的奇偶性 可以求关于原点对称区间上的函数的表达式 互动探究 3 偶函数f x x r 满足 f 4 f 1 0 且在区间 0 3 与 3 上分别递减和递增 则不等式xf x 0的解集为 a 4 4 c 4 1 0 b 4 1 1 4 d 4 1 0 1 4 解析 由已知条件通过f x x r 的草图得知函数f x x r 的值在 4 1 1 4 上都为正 在 4 1 1 4 上为负 故不等式xf x 0的解集为 4 1 0 1 4 d 错源 没有考虑定义域 例4 判断函数f x 1 x 的奇偶性 误解分析 对函数奇偶性定义实质 函数的定义域关于原点对称 理解不全面 这是函数具备奇偶性的必要条件 正解 f x 1 x 有意义时 必须满足 1 x1 x 0 1 x 1 即函数的定义域是 x 1 x 1 由于定义域不关于原点对称 所以该函数既不是奇函数也不是偶函数 纠错反思 在处理函数的任何问题时 都要树立定义域优先的意识 互动探究 4 给出四个函数 y lg 1 x y lg 1 x lg 1 x 1 x y lg x 1 x 1 y lg x 1 lg x 1 其中奇函数 是 偶函数是 例5 已知函数f x 当x 0时 f x x2 2x 1 1 若f x 为r上的奇函数 求f x 的解析式 2 若f x 为r上的偶函数 能确定f x 的解析式吗 请说明理由 互动探究 解析 由f x 2 1f x 得f x 4 1f x 2 f x 所以f 5 f 1 5 则f f 5 f 5 f 1 1f 1 2 15 关于周期函数的几种判定方法 1 对于函数f x 定义域中的任意的x 总存在一个常数t t 0 使得f x t f x 恒成立 则t是函数y f x 的一个周期 2 若函数y f x 满足f x a f x a a 0 则t 2a是它的一个周期 3 若函数y f x 满足f x a f x a 0 则t 2a是它的一个周期 1f x a 0 则t 2a是它 4 若函数y f x 满足f x a 的一个周期 1f x a 0 则t 2a是它的 5 若函数y f x 满足f x a 一个周期 6 若函数y f x 满足f x a 1 f x 1 f x a 0 则t 2a是 它的一个周期 7 若函数y f x x r 的图像关于直线x a与x b对称 则t 2 b a 是它的一个周期 8 若函数y f x x r 的图像关于点 a 0 与直线x b对称 则t 4 b a 是它的一个周期 函数y ln 1 2010年江西 给出下列三个命题 12 1 cosxx与y lntan是同一函数 1 cosx2 若函数y f x 与y g x