【优化方案】高考数学总复习 第8章§8.6空间向量的概念及其运算精品课件 理 北师大版.ppt

8 6空间向量的概念及其运算 考点探究 挑战高考 考向瞭望 把脉高考 8 6空间向量的概念及其运算 双基研习 面对高考 1 空间向量的有关概念 双基研习 面对高考 大小 方向 长度 模 起点 1 0 相同 相等 相反 模 aob a b a b 平行 重合 共线向量 平行向量 a b 直线l 垂直于 平行 思考感悟如何由直线的方向向量求直线的斜率 2 共线向量 共面向量定理和空间向量基本定理 1 共线向量定理对空间任意两个向量a b b 0 共线的充要条件是 存在实数 使a b xa yb 1 3 空间向量基本定理如果向量e1 e2 e3是空间三个 的向量 a是空间任一向量 那么存在惟一一组实数 1 2 3 使得a 1e1 2e2 3e3 空间中不共面的三个向量e1 e2 e3叫作这个空间的一个 3 空间向量的数量积及运算律 1 两向量的数量积已知空间两个非零向量a b 即 叫作向量a b的数量积 记作 即a b a b cos a b 不共面 基底 a b cos a b a b 2 空间向量数量积的运算律 结合律 a b 交换律 a b b a 分配律 a b c 4 空间向量的标准正交分解与坐标表示 1 在给定的空间直角坐标系中 i j k分别为x轴 y轴 z轴正方向上的单位向量 对于空间任意向量a 存在惟一一组三元有序实数 x y z 使得a 把 叫作a的标准正交分解 把 叫作标准正交基 叫作空间向量a的坐标 记作a x y z 叫作向量a的坐标表示 a b a b a c xi yj zk a xi yj zk i j k x y z x y z 2 若b0为b的单位向量 称 为向量a在向量b上的投影 向量的坐标等于它在坐标轴正方向上的投影 5 空间向量坐标表示及应用 1 数量积的坐标运算若a a1 a2 a3 b b1 b2 b3 则 2 共线与垂直的坐标表示 a b0 a cos a b a b a1b1 a2b2 a3b3 设a a1 a2 a3 b b1 b2 b3 则a b a1 b1 a2 b2 a3 b3 a b a b均为非零向量 3 模 夹角和距离公式设a a1 a2 a3 b b1 b2 b3 a b a b 0 a1b1 a2b2 a3b3 0 答案 d a 1b 2c 3d 4答案 b 答案 b 4 教材习题改编 已知a 1 3 2 b 1 2 0 若存在c使a c且b c 5 则c 考点探究 挑战高考 用已知向量表示未知向量 一定要结合图形 以图形为指导是解题的关键 要正确理解向量加法 减法与数乘运算的几何意义 首尾相接的若干向量之和 等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量 我们可把这个法则称为向量加法的多边形法则 在立体几何中要灵活应用三角形法则 向量加法的平行四边形法则在空间仍然成立 2011年合肥调研 对于任何空间四边形 试证明它的一对对边中点的连线段与另一对对边平行于同一平面 思路点拨 要证线段共面 只须证明相应向量共面 证明 如图所示 利用多边形加法法则可得 名师点评 注意向量在加减法中的方向 如图所示 在正四棱柱abcd a1b1c1d1中 已知ab 2 aa1 5 e f分别为d1d b1b上的点 且de b1f 1 1 求证 be 平面acf 2 求点e到平面acf的距离 思路点拨 根据题意 建立合理的坐标系 利用向量的坐标运算解决所求问题 解 如图 以d为原点 da dc dd1所在直线分别为x y z轴建立空间直角坐标系 则d 0 0 0 a 2 0 0 b 2 2 0 c 0 2 0 d1 0 0 5 e 0 0 1 f 2 2 4 连结ae 名师点评 在计算和证明立体几何问题时 若能在原图中建立适当的坐标系 把图形中的点的坐标求出来 那么图形中有关问题可用向量表示 利用空间向量的坐标运算来求解 这样可避免较为复杂的空间想象 2011年南昌调研 已知e f g h分别是空间四边形abcd的边ab bc cd da的中点 思路点拨 利用共线定理 共面定理证明 名师点评 在求一个向量由其他向量来表示的时候 通常是利用向量的三角形法则 平行四边形法则和共线向量的特点 把要求的向量逐步分解 向已知向量靠近 进行求解 若要证明两直线平行 只需判定两直线所在的向量满足线性a b关系 即可判定两直线平行 如第 1 2 问即是如此 方法技巧1 建立了坐标系 向量的线性运算及数量积就可以用坐标运算代替 即几何问题代数化 如例2 2 用空间三个不共面的向量组 a b c 可以表示出空间任意一个向量 而且a b c的系数是唯一的 如课前热身2 3 用向量数量积的定义及性质可解决立体几何中求异面直线所成的角 求两点间距离或线段长度以及证明线线垂直 线面垂直等典型问题 如例2 4 熟练掌握空间向量的运算 性质及基本定理是解决空间向量问题的基础 特别是共线向量定理 共面向量定理 空间向量基本定理 数量积的性质等 如例1 例3 失误防范1 利用坐标运算解决立体几何问题 降低了推理难度 可以避开一些较复杂的线面关系 但较复杂的代数运算也容易导致出错 因此 在解决问题时 可以灵活的选用解题方法 不要生搬硬套 2 用空间向量解决立体几何中的平行或共线问题一般用向量共线定理 求两点间距离或某一线段的长度 一般用向量的模来解决 求异面直线所成的角 一般可以转化为两向量的夹角 但要注意两种角的范围不同 最后应进行转化 解决垂直问题一般可转化为向量的数量积为零 3 空间向量的加法 减法经常逆用 来进行向量的分解 4 几何体中向量问题的解决 选好基底是关键 考向瞭望 把脉高考 从近几年的高考来看 空间向量的数量积及应用在高考中偶尔有所体现 其他知识体现较少 题型有选择题 解答题 解答题中一般考查学生综合运用知识解决问题 处理问题的能力 预测2012年高考仍将以空间向量的数量积与解决立体几何问题为考查点 考查学生的运算能力 分析问题 解决问题的能力 名师点评 1 解决存在与否类的探索性问题一般有两个思路 一是直接去找存在的点 线 面或是一些其他的量 二是首先假设其存在 然后通过推理论证或是计算 如果得出了一个合理的结果 就说明其存在 如果得出了一个矛盾的结果 就说明其不存在 2 利用向量线性运算证明立体几何的相关问题 要用向量表示相关的量 根据证明的需要对向量进行运算 运算可以结合实际图形 以图形为指导是解题的关键 要注意利用空间向量解决立体几何中各种问题的方法 如证明线线垂直 可以证其向量的数量积为零 如证明四点共面 可以证从同一点出发的三个向量共面 如求线线夹角 可以利用其向量的数量积 向量夹角公式 如求两点间的距离 可以求两点向量