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1 3 3函数的最大 小 值 学习目标 1 理解函数最值的概念 2 理解函数最值的几何意义 3 会利用函数的单调性 求函数的最大 小 值 f x x2 f x x2 f x x 1 说出y f x 的单调区间 以及在各单调区间上的单调性 2 指出图象的最高点或最低点 说明它体现函数的什么特征 一般地 设函数y f x 的定义域为i 如果存在实数m满足 1 对于任意的x i 都有f x m 2 存在x0 i 使得f x0 m 那么 称m是函数y f x 的最大值 一 函数的最大值 一般地 设函数y f x 的定义域为i 如果存在实数m满足 那么 称m是函数y f x 的最小值 二 函数的最小值 1 对于任意的x i 都有f x m 2 存在x0 i 使得f x0 m 2 函数最大 小 值应该是所有函数值中最大 小 的 即对于任意的x i 都有f x m f x m 1 函数最大 小 值首先应该是某一个函数值 即存在x0 i 使得f x0 m 注意 3 函数最大 小 值的几何意义 函数图象上最高点 最低点 的纵坐标 例1 菊花 烟花是最壮观的烟花之一 制造时一般是期望在它达到最高点时爆裂 如果在距地面高度hm与时间ts之间的关系为 h t 4 9t2 14 7t 18 那么烟花冲出后什么时候是它的爆裂的最佳时刻 这时距地面的高度是多少 精确到1m 解 作出函数h t 4 9t2 14 7t 18的图象 如图 显然 函数图象的顶点就是烟花上升的最高点 顶点的横坐标就是烟花爆裂的最佳时刻 纵坐标就是这时距地面的高度 由二次函数的知识 对于h t 4 9t2 14 7t 18 于是 烟花冲出后1 5秒是它爆裂的最佳时刻 这时距地面的高度为29m 如果函数y f x 在区间 a b 上单调递增 则函数y f x 在x a处有最小值f a 在x b处有最大值f b 如果函数y f x 在区间 a b 上单调递减 在区间 b c 上单调递增 则函数y f x 在x b处有最小值f b 三 利用函数单调性判断函数的最大 小 值的方法 例2 已知函数 求函数的最大值和最小值 由于20 x1 1 x2 1 0 于是 所以 函数是区间 2 6 上的减函数 因此 函数在区间 2 6 上的两个端点上分别取得最大值和最小值 即在点x 2时取最大值 最大值是2 在x 6时取最小值 最小值为0 4 先说明函数在区间上是减函数 复习一下判定函数单调性的基本步骤 利用函数的单调性来求函数的最大值与最小值是一种十分常用的方法 要注意掌握 解 任取x1 x2 2 6 且x1 x2 总一总 成竹在胸 1 函数的最大 小 值及其几何意义 2 利用函数的单调性求函数的最大
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