【全套解析】高三数学一轮复习 63 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题课件 （理） 新人教A版.ppt

第二节一元二次不等式及其解法 1 会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型 2 通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数 一元二次方程的联系 3 会解一元二次不等式 对给定的一元二次不等式 会设计求解的程序框图 1 一元二次不等式的解法在二次函数y ax2 bx c a 0 中 令y 0 得到一元二次方程ax2 bx c 0 a 0 若将符号 改为不等号 或 0 或 0 因此 可以通过y ax2 bx c a 0 图象与x轴的交点求得一元二次不等式的解 具体如下表 2 用一个程序框图来描述一元二次不等式ax2 bx c 0 a 0 的求解的算法过程 4 设集合a x x 1 2 3x 7 x r 则集合a z中有 个元素 解析 由 x 1 2 3x 7得 1 x 6 集合a x 1 x 6 a z的元素有0 1 2 3 4 5共6个元素 答案 6 5 a 0时 不等式x2 2ax 3a2 0的解集是 解析 x2 2ax 3a2 0 x1 3a x2 a 又a 0 不等式的解集为 x 3a x a 答案 x 3a x a 热点之一一元二次不等式及其解法1 通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数 一元二次方程的联系 2 解一元二次不等式时 当二次项系数为负时要先化为正 再求出对应的一元二次方程的根 然后结合相应的二次函数的图象写出不等式的解集 对于分式不等式要等价转化为整式不等式再求解 热点之二解含参数的一元二次不等式解含字母参数的不等式要分类讨论求解 当二次项系数中含有字母时要分二次项系数大于0 等于0 小于0进行讨论 二次项系数的正 负对不等号的方向和不等式的解集均有影响 其次 对相应的方程根的大小进行讨论 最后结合相应的二次函数的图象求得不等式的解集 例2 解关于x的不等式ax2 2a 1 x 2 0 思路探究 这个不等式的左端可以分解为两个因式的乘积 即 ax 1 x 2 这样就可以根据字母a和0的三种关系进行分类解决 热点之三一元二次不等式与一元二次方程的根的关系不等式ax2 bx c 0 ax2 bx c 0的解就是使二次函数y ax2 bx c的函数值大于0或小于0的x的取值范围 因此一元二次方程ax2 bx c 0的两根就是x的取值范围的端点值 要结合二次函数的图象去理解二次不等式的解集 例3 已知抛物线y m 1 x2 m 2 x 1 m r 1 当m为何值时 抛物线与x轴有两个不同的交点 2 若关于x的方程 m 1 x2 m 2 x 1 0的两个不等实根的倒数平方和不大于2 求实数m的取值范围 课堂记录 1 由题意可知m 1 且 0 即 m 2 2 4 m 1 0 所以m2 0 所以m 1且m 0 思维拓展 抛物线实质是一元二次函数的图象 所以由一元二次函数图象的性质特点来分析即可 关于方程的根的情况由韦达定理转化为不等式求解 即时训练 2010 山东淄博模拟 若关于x的不等式ax2 6x a2 0的解集为 m 1 则m等于 解析 由已知可得a 0且1和m是方程ax2 6x a2 0的两根 于是a 6 a2 0 解得a 3 代入ax2 6x a2 0得 3x2 6x 9 0 所以方程的另一根为 3 即m 3 答案 3 热点之四一元二次不等式的恒成立问题1 解决恒成立问题一定要搞清谁是自变量 谁是参数 一般地 知道谁的范围 谁就是变量 求谁的范围 谁就是参数 2 对于二次不等式恒成立问题 恒大于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴上方 恒小于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴下方 例4 已知不等式mx2 2x m 2 0 1 若对于所有的实数x不等式恒成立 求m的取值范围 2 设不等式对于满足 m 2的一切m的值都成立 求x的取值范围 思路探究 1 讨论m是否为零 可结合二次函数的图象求解 2 看作关于m的一次函数 利用其单调性求解 2 设g m x2 1 m 2x 2 它是一个以m为自变量的一次函数 由x2 1 0知g m 在 2 2 上为增函数 则由题意只需g 2 0即可 即2x2 2 2x 2 0 解得0 x 1 即x的取值范围是 0 1 即时训练设f x x2 2mx 2 当x 1 时 f x m恒成立 求实数m的取值范围 解析 设f x x2 2mx 2 m 则当x 1 时 f x 0恒成立当 4 m 1 m 2 0显然成立 当 0时 右图 f x 0恒成立的充要条件为 从近几年的高考试题看 高考中常常以小题的形式考查简单的一元二次不等式或可化为一