Chapter6非线性微分方程.doc

常微分方程教案 第六章 非线性微分方程第六章 非线性微分方程6.1 稳定性6.1.1 常微分方程组的存在唯一性定理讨论非线性常微分方程组（6.1）的解的性态.设初值条件为 y(t0)=y0 (6.2)考虑包含点 (t0, y0) =(t0; y10, y20, , yn0) 的某个区域 R: | t - t0 | a, | y - y0 | b.此处范数定义为 局部利普希茨条件 对于 G 内任一点 (t0, y0) ,存在闭邻域 RG ,而 g(t, y) 于 R 上关于 y 满足利普希茨条件,即存在常数 L 0 ,使得不等式 | g(t, y1)- g(t, y2) | L| y1- y2 | 对所有 (t, y1) , (t, y2) R成立.存在唯一性定理 如果向量函数 g(t, y) 在域 R 上连续且关于 y 满足利普希茨条件,则方程组(6.1)存在唯一解 y=j(t; t0, y0) ,它在区间 | t - t0 | h 上连续,且 j( t0; t0, y0)= y0 .其中解的延拓与连续性定理 如果向量函数 g(t, y) 在某域 G 内连续,且关于 y 满足局部利普希茨条件,则方程组(6.1)的满足初值条件(6.2)的解 y=j(t; t0, y0) 可以延拓,或者延拓到 + ;或者使点 (t, j(t; t0, y0) 任意接近区域 G 的边界.而解 j(t; t0, y0) 作为 t; t0, y0 的函数在它的存在范围内是连续的.可微性定理 如果向量函数 g(t, y) 及 在域 G 内连续,则方程组(6.1)由初值条件(6.2)确定解 j(t; t0, y0) 作为 t; t0, y0 的函数在它的存在范围内是连续可微的.6.1.2 李雅普诺夫稳定性方程组(6.1)的特解 y=j(t) 作变换 x= y -j(t) 将方程化为(6.7)其中从而把方程组(6.1)的特解 y=j(t) 变为方程组(6.7)的零解 x=0 .定义 如果对任意给定的 e 0 ,存在 d 0 (d 一般与 e 和 t0 有关),使当任一 x0 满足 | x0 | d时,方程组(6.7)的由初值条件 x(t0)= x0 确定的解 x(t) ,对一切 t t0 均有 | x(t) | 0 使当 | x0 | 0 不管 d 0 怎样小,总有一个 x0 满足 | x0 | d ,使由初值条件 x(t0)= x0 所确定的解 x(t) 至少存在某个 t1 t0 使得 | x(t1) |=e .6.1.3 按线性近似决定稳定性最简单的一阶常系数线性微分方程组其任一解可表示为的线性组合.定理1 若系数矩阵的特征方程的根均具有负实部,则方程(6.10)的零解是渐近稳定的;若特征方程具有正实部的根,则方程(6.10)的零解是不稳定的;若特征方程没有正实部的根,但有零根或具有零实部的根,则方程(6.10)的零解可能是稳定的也可能是不稳定的,要看零根或具零实部的根其重数是否等于1而定.现在考虑非线性微分方程组其中 ,且满足条件定理2 若特征方程没有零根或零实部的根,则非线性微分方程组(6.13)的零解的稳定性与其线性近似的方程组(6.10)的零解的稳定性一致.例1 考虑有阻力的数学摆的振动,其微分方程为其中l为长度, m为质量,g为重力加速度,且均大于零,设阻力系数 m 0 .定理3 设给定常系数的 n 次代数方程其中 a00 ,作行列式Ai0(in)则代数方程的一切根均有负实部的充要条件是下列不等式同时成立:.例2 考虑一阶非线性微分方程组例3 对三次代数方程l3+(a+b+1)l2 +b(a+c)l +2ab(