第七章第4讲直线、平面平行的判定与性质.doc

第4讲直线、平面平行的判定与性质1直线与平面平行的判定定理和性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理平面外一条直线与这个平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行(线线平行线面平行)la，al，l性质定理一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行(简记为“线面平行线线平行”)l，l，b，lb2.平面与平面平行的判定定理和性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行(简记为“线面平行面面平行”)a，b，abP，a，b，性质定理如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行，ab，ab做一做1a、b、c为三条不重合的直线，、为三个不重合的平面，现给出四个命题：a a其中正确的命题是()A BC D解析：选C.正确错在与可能相交错在a可能在内1辨明两个易误点(1)直线与平面平行的判定中易忽视“线在面内”这一关键条件(2)面面平行的判定中易忽视“面内两条相交线”这一条件2判断线面平行的两种常用方法面面平行判定的落脚点是线面平行，因此掌握线面平行的判定方法是必要的，判定线面平行的两种方法：(1)利用线面平行的判定定理；(2)利用面面平行的性质定理，即当两平面平行时，其中一平面内的任一直线平行于另一平面做一做2对于直线m，n和平面，若n，则“mn”是“m”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件答案：D3在正方体ABCDA1B1C1D1中，E是DD1的中点，则BD1与平面ACE的位置关系为_解析：如图，连接AC，BD交于O点，连接OE，因为OEBD1，而OE平面ACE，BD1平面ACE，所以BD1平面ACE.答案：平行_线面平行的判定及性质(高频考点)_平行关系是空间几何中的一种重要关系，包括线线平行、线面平行、面面平行，其中线面平行在高考试题中出现的频率很高，一般出现在解答题中高考对线面平行的判定及性质的考查常有以下三个命题角度：(1)判断线面的位置关系；(2)线面平行的证明；(3)线面平行性质的应用如图，在四棱锥PABCD中，CDAB，DCAB，若PMMB，求证：CM平面PAD.扫一扫进入91导学网()直线与平面平行的性质证明法一：取AP的中点F，连接FM，DF，则FMAB，FMAB.CDAB，CDAB，FMCD，FMCD.四边形CDFM为平行四边形CMDF.DF平面PAD，CM平面PAD，CM平面PAD.法二：在四边形ABCD中，设BC的延长线与AD的延长线交于点Q，连接PQ，AC.CDAB，QCDQBA.CQDBQA，CQDBQA.C为BQ的中点M为BP的中点，CMPQ.PQ平面PAD，CM平面PAD，CM平面PAD.规律方法(1)证明线面平行时，先直观判断平面内是否存在一条直线和已知直线平行，若找不到这样的直线，可以考虑通过面面平行来推导线面平行(2)应用线面平行性质的关键是如何确定交线的位置，有时需要经过已知直线作辅助平面来确定交线1. (1)(2015秦皇岛模拟)如图，四边形ABCD是平行四边形，点P是平面ABCD外一点，M是PC的中点，在DM上取一点G，过G和AP作平面交平面BDM于GH.求证：APGH.(2)(2015浙江六市六校联盟模拟)如图所示，在三棱柱ABCA1B1C1中，侧棱AA1底面ABC，ABBC，D为AC的中点，AA1AB2.求证：AB1平面BC1D；若BC3，求三棱锥DBC1C的体积解：(1)证明：连接AC交BD于点O，连接MO，PMMC，AOOC，PAMO，PA平面MBD，MO平面MBD，PA平面MBD.平面PAG平面MBDGH，APGH. (2)证明：连接B1C，设B1C与BC1相交于点O，连接OD.四边形BCC1B1是平行四边形点O为B1C的中点D为AC的中点，OD为AB1C的中位线，ODAB1.OD平面BC1D，AB1平面BC1D，AB1平面BC1D.在三棱柱ABCA1B1C1中，侧棱CC1AA1.又AA1平面ABC，侧棱CC1平面ABC，故CC1为三棱锥C1BCD的高，A1ACC12，SBCDSABC(BCAB)，VDBCCVCBCDCC1SBCD21._面面平行的判定与性质_如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，E，F，G，H分别是AB，AC，A1B1，A1C1的中点，求证： (1)B，C，H，G四点共面；(2)平面EFA1平面BCHG.证明(1)GH是A1B1C1的中位线，GHB1C1.又B1C1BC，GHBC，B，C，H，G四点共面(2)E，F分别为AB，AC的中点，EFBC，EF平面BCHG，BC平面BCHG，EF平面BCHG.A1G綊EB，四边形A1EBG是平行四边形，A1EGB.A1E平面BCHG，GB平面BCHG，A1E平面BCHG.A1EEFE，平面EFA1平面BCHG.在本例条件下，线段BC1上是否存在一点M使得EM平面A1ACC1?解：存在当M为BC1的中点时成立证明如下：连接EM(图略)，在ABC1中，E，M分别为AB，BC1的中点，EM綊AC1，又EM平面A1ACC1，AC1平面A1ACC1，EM平面A1ACC1.规律方法判定面面平行的方法：(1)利用定义：即证两个平面没有公共点(不常用)；(2)利用面面平行的判定定理(主要方法)；(3)利用垂直于同一条直线的两平面平行(客观题可用)；(4)利用平面平行的传递性，即两个平面同时平行于第三个平面，则这两个平面平行(客观题可用)2.(2013高考陕西卷) 如图， 四棱柱ABCDA1B1C1D1的底面ABCD是正方形，O是底面中心，A1O底面ABCD，ABAA1. (1)证明：底面A1BD平面CD1B1；(2)求三棱柱ABDA1B1D1的体积. 解：(1)证明：由题设知，BB1綊DD1，四边形BB1D1D是平行四边形，BDB1D1.又BD平面CD1B1，BD平面CD1B1.A1D1綊B1C1綊BC，四边形A1BCD1是平行四边形，A1BD1C.又A1B平面CD1B1，A1B平面CD1B1.又BDA1BB，平面A1BD平面CD1B1.(2)A1O平面ABCD，A1O是三棱柱ABDA1B1D1的高又AOAC1，AA1，A1O1.又SABD1，V三棱柱ABDABDSABDA1O1._平行关系的综合应用_(2015河南洛阳月考)如图，ABCD与ADEF为平行四边形，M，N，G分别是AB，AD，EF的中点 (1)求证：BE平面DMF；(2)求证：平面BDE平面MNG.证明(1)如图，连接AE，则AE必过DF与GN的交点O，连接MO，则MO为ABE的中位线，所以BEMO，又BE平面DMF，MO平面DMF，所以BE平面DMF.(2)因为N，G分别为平行四边形ADEF的边AD，EF的中点，所以DEGN，又DE平面MNG，GN平面MNG，所以DE平面MNG.又M为AB中点，所以MN为ABD的中位线，所以BDMN，又BD平面MNG，MN平面MNG，所以BD平面MNG，又DE与BD为平面BDE内的两条相交直线，所以平面BDE平面MNG.规律方法在应用线面平行、面面平行的判定定理和性质定理进行平行转化时，一定要注意定理成立的条件，严格按照定理成立的条件规范书写步骤，如把线面平行转化为线线平行时，必须说清经过已知直线的平面与已知平面相交，则直线与交线平行3. 如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，S是B1D1的中点，E、F、G分别是BC、DC、SC的中点，求证： (1)直线EG平面BDD1B1；(2)平面EFG平面BDD1B1.证明：(1)如图，连接SB，E、G分别是BC、SC的中点，EGSB.又SB平面BDD1B1，EG平面BDD1B1，直线EG平面BDD1B1.(2)连接SD，F、G分别是DC、SC的中点，FGSD.又SD平面BDD1B1，FG平面BDD1B1，FG平面BDD1B1，且EG平面EFG，FG平面EFG，EGFGG，平面EFG平面BDD1B1.方法思想转化与化归思想解决平行关系中的探索性问题如图，在四面体PABC中，PCAB，PABC，点D，E，F，G分别是棱AP，AC，BC，PB的中点 (1)求证：DE平面BCP；(2)求证：四边形DEFG为矩形；(3)是否存在点Q，到四面体PABC六条棱的中点的距离相等？说明理由解(1)证明：因为D，E分别是AP，AC的中点，所以DEPC.又因为DE平面BCP，PC平面BCP，所以DE平面BCP.(2)证明：因为D，E，F，G分别为AP，AC，BC，PB的中点，所以DEPCFG，DGABEF.所以四边形DEFG为平行四边形又因为PCAB，所以DEDG.所以四边形DEFG为矩形(3)存在点Q满足条件，理由如下：连接DF，EG，设Q为EG的中点，由(2)知，DFEGQ，且QDQEQFQGEG.分别取PC，AB的中点M，N，连接ME，EN，NG，MG，MN.与(2)同理，可证四边形MENG为矩形，其对角线交点为EG的中点Q，且QMQNEG，所以Q为满足条件的点名师点评(1)立体几何中的探索性问题主要是对平行、垂直关系的探究，对条件和结论不完备的开放性问题的探究，解决这类问题一般根据探索性问题的设问，假设其存在并探索出结论，然后在这个假设下进行推理论证，若得到合乎情理的结论就肯定假设，若得到矛盾就否定假设(2)这类问题也可以按类似于分析法的格式书写步骤：从结论出发“要使成立”，“只需使成立”如图所示，在三棱柱ABCA1B1C1中，D是棱CC1的中点，问在棱AB上是否存在一点E，使DE平面AB1C1？若存在，请确定点E的位置；若不存在，请说明理由解：点E为AB的中点时DE平面AB1C1，证明如下：法一：取AB1的中点F，连接DE、EF、FC1，E、F分别为AB、AB1的中点，EFBB1且EFBB1.在三棱柱ABCA1B1C1中，DC1BB1且DC1BB1，EF綊DC1，四边形EFC1D为平行四边形，EDFC1.又ED平面AB1C1，FC1平面AB1C1，ED平面AB1C1.法二：取BB1的中点H，连接EH，DH，E，H分别是AB，BB1的中点，则EHAB1.又EH平面AB1C1，AB1平面AB1C1，EH平面AB1C1，又HDB1C1，同理可得HD平面AB1C1，又EHHDH，平面EHD平面AB1C1，ED平面EHD，ED平面AB1C1.1(2015惠州模拟)已知两条不同的直线l，m，两个不同的平面，则下列条件能推出的是()Al，m，且l，mBl，m，且lmCl，m，且lmDl，m，且lm解析：选C.借助正方体模型进行判断易排除选项A，B，D，故选C.2(2015济南模拟)平面平面的一个充分条件是()A存在一条直线a，a，aB存在一条直线a，a，aC存在两条平行直线a，b，a，b，a，bD存在两条异面直线a，b，a，b，a，b解析：选D.若l，al，a，a，则a，a，故排除A.若l，a，al，则a，故排除B.若l，a，al，b，bl，则a，b，故排除C.故选D.3(2015大连市双基测试)在空间中，a，b是两条不同的直线，是两个不同的平面，则真命题是()A若a，b，则abB若a，b，则abC若a，ab，则bD若，a，则a解析：选D.对于A，平行于同一平面的两条直线的位置关系可能是平行、相交或者异面，因此选项A不正确；对于B，分别位于两个相互垂直的平面内的两条直线可能是平行的或异面的或相交的，因此选项B不正确；对于C，直线b可能位于平面内，此时结论不正确；对于D，直线a与平面没有公共点，因此a，选项D正确4. 如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别为棱AB，CC1的中点，在平面ADD1A1内且与平面D1EF平行的直线()A不存在B有1条C有2条D有无数条解析：选D.由题设知平面ADD1A1与平面D1EF有公共点D1，由平面的基本性质中的公理知必有过该点的公共直线l，在平面ADD1A1内与l平行的线有无数条，且它们都不在平面D1EF内，由线面平行的判定定理知它们都与平面D1EF平行5. 如图所示，在空间四边形ABCD中，E，F分别为边AB，AD上的点，且AEEBAFFD14，又H，G分别为BC，CD的中点，则()ABD平面EFGH，且四边形EFGH是矩形BEF平面BCD，且四边形EFGH是梯形CHG平面ABD，且四边形EFGH是菱形DEH平面ADC，且四边形EFGH是平行四边形解析：选B.由AEEBAFFD14知EF綊BD，EF平面BCD.又H，G分别为BC，CD的中点，HG綊BD，EFHG且EFHG.四边形EFGH是梯形6. 如图，在空间四边形ABCD中，MAB，NAD，若，则直线MN与平面BDC的位置关系是_解析：在平面ABD中，MNBD.又MN平面BCD，BD平面BCD，MN平面BCD.答案：平行7(2015汕头质检)若m，n为两条不重合的直线，为两个不重合的平面，则下列命题中真命题的序号是_若m，n都平行于平面，则m，n一定不是相交直线；若m，n都垂直于平面，则m，n一定是平行直线；已知，互相平行，m，n互相平行，若m，则n；若m，n在平面内的射影互相平行，则m，n互相平行解析：为假命题；为真命题；在中，n可以平行于，也可以在内，故是假命题；在中，m，n也可能异面，故为假命题答案：8(2015湖南长沙一中高考模拟)如图所示，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为a，点P是棱AD上一点，且AP，过B1、D1、P的平面交底面ABCD于PQ，Q在直线CD上，则PQ_解析：平面A1B1C1D1平面ABCD，而平面B1D1P平面ABCDPQ，平面B1D1P平面A1B1C1D1B1D1，B1D1PQ.又B1D1BD，BDPQ，设PQABM，ABCD，APMDPQ.2，即PQ2PM.又知APMADB，PMBD，又BDa，PQa.答案：a9. 如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，E，H分别为棱A1B1，D1C1上的点，且EHA1D1，过EH的平面与棱BB1，CC1相交，交点分别为F，G，求证：FG平面ADD1A1.证明：因为EHA1D1，A1D1B1C1，EH平面BCC1B1，B1C1平面BCC1B1，所以EH平面BCC1B1.又平面FGHE平面BCC1B1FG，所以EHFG，即FGA1D1.又FG平面ADD1A1，A1D1平面ADD1A1，所以FG平面ADD1A1.10. 如图，已知四棱锥PABCD的底面为直角梯形，ABCD，DAB90，PA底面ABCD，且PAADDCAB1，M是PB的中点 (1)求证：AMCM；(2)若N是PC的中点，求证：DN平面AMC.证明：(1)在直角梯形ABCD中，ADDCAB1，AC，BC，BCAC.又PA平面ABCD，BC平面ABCD，BCPA，BC平面PAC，BCPC.在RtPAB中，M为PB的中点，则AMPB，在RtPBC中，M为PB的中点，则CMPB，AMCM.(2)连接DB交AC于点F，DC綊AB，DFFB.取PM的中点G，连接DG，FM，则DGFM.又DG平面AMC，FM平面AMC，DG平面AMC.连接GN，则GNMC，GN平面AMC.又GNDGG，平面DNG平面AMC.DN平面DNG，DN平面AMC.1在正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N分别是对角线AB1，BC1上两点，且，求证：MN平面A1B1C1D1.证明：如图所示，在平面AA1B1B内，作MKA1B1交BB1于点K，因为A1B1平面A1B1C1D1，MK平面A1B1C1D1，所以MK平面A1B1C1D1连接KN，由MKA1B1可知，又，所以，所以KNB1C1，因为B1C1平面A1B1C1D1，KN平面A1B1C1D1，所以KN平面A1B1C1D1.又MK，KN是平面MNK内两条相交的直线，所以平面MNK平面A1B1C1D1，因为MN平面MNK，所以MN平面A1B1C1D1.2. 如图，斜三棱柱ABCA1B1C1中，点D，D1分别为AC，A1C1上的点 (1)当等于何值时，BC1平面AB1D1?(2)若平面BC1D平面AB1D1，求的值解：(1)如图，取D1为线段A1C1的中点，此时1.连接A1B交AB